b ) Determine a altura do cone circular reto, de volume máximo, e com a geratriz a dada.

Passo 1

Oiie, tudo certinho com você?

Nesta questão temos um cone circular reto com geratriz a , queremos obter o cone de volume máximo tendo em vista esta geratriz, a equação geral do cone é dada por

a 2 = r 2 + h 2

e o volume de um cone é dado pela expressão

V =   1 3 π r 2 h

A única coisa que nos falta é garantir que este volume seja máximo! Como fazer algo assim? Para obter o máximo de uma função, precisamos garantir duas condições, em nosso caso, como queremos obter o máximo em relação a altura, temos que

d V d h = 0

e

d 2 V d h 2 < 0

Já que estas condições nos indicam que em um ponto específico h = h m a x temos o valor máximo da função V ( h ) . Vamos lá!

Passo 2

Para calcular a nossa derivada, vamos primeiro substituir r 2 = a 2 - h 2 na expressão para o volume, temos que

V = 1 3 π r 2 h = 1 3 π ( a 2 - h 2 ) h

Distribuindo os produtos, temos que

V = 1 3 π a 2 h - 1 3 π h 3

Podemos utilizar a regra do tombo para calcular a primeira derivada, temos que

d V d h = 1 3 π a 2 d ( h ) d h - 1 3 π d ( h 3 ) d h

Ou seja, temos que

d V d h = 1 3 π a 2 - π h 2

Podemos supor inicialmente que h m a x é obtido quando d V d h = 0 , mas precisaremos checar isso posteriormente com a segunda condição dada no passo 1. Por agora, temos que

d V d h = 1 3 π a 2 - π h m a x 2 = 0

Isolando o valor de h m a x temos que

h m a x = a 3 = 3 a 3

Temos a nossa altura, mas será que ela está relacionada à um volume máximo mesmo? Vamos verificar!

Passo 3

Para verificar precisamos da segunda derivada d 2 V ( h ) d h 2 , ou seja, precisamos calcular

d d h ( d V d h ) = d d h ( 1 3 π a 2 - π h 2 )

Isso pode ser dividido em duas derivadas, e como temos que 1 3 π a 2 é uma constante, temos que

d d h ( 1 3 π a 2 - π h 2 ) = d d h ( 1 3 π a 2 ) - d d h ( π h 2 ) = 0 - π d d h ( h 2 )

Com a regra do tombo obtemos que

d 2 d h 2 V ( h ) = - 2 π h

Se temos que h = 3 a / 3 realmente é h m a x , então precisamos que

d 2 d h 2 V ( h m a x ) = - 2 π h m a x < 0

Note que usando h m a x = 3 a / 3 , obtemos que

d 2 d h 2 V ( h m a x ) = - 2 3 π a 3 < 0

Ou seja, h m a x é realmente relacionado a um volume máximo! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

h m a x = 3 a 3

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