Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preço de venda é de p unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionada com x por 5 x = 375 - 3 p , p ≥ 0 . O custo de produção é de C x = 500 + 15 x + x 2 6 unidades monetárias. Determine x para que o lucro ( = v e n d a - c u s t o ) seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.

Passo 1

Bom, para determinarmos x que maximiza o lucro, precisamos derivar a função que representa o lucro e encontrar seu ponto de máximo. Sabemos que o lucro é igual ao valor vendido menos o custo de produção. Possuímos apenas a equação do custo, mas a partir da relação

5 x = 375 - 3 p

podemos encontrar a função que representa o valor da venda de x toneladas do produto. Primeiro, temos que isolar p , que representa o preço por tonelada.

3 p = 375 - 5 x

p = 375 - 5 x 3

Para saber o valor arrecadado na venda de x toneladas precisamos multiplicar o valor p por x .

V e n d a = 375 - 5 x 3 x = 375 x - 5 x ² 3

Finalmente, podemos determinar a função que representa o lucro, subtraindo a função da venda pela função do custo.

L u c r o = 375 x - 5 x ² 3 - x 2 6 - 15 x - 500

Passo 2

Chegamos na parte mais importante do exercício. Temos que achar o máximo da função L u c r o . Então, primeiro, vamos derivar a função.

L u c r o ' = 375 3 - 10 x 3 - 2 x 6 - 15 = 125 - 10 x 3 - x 3 - 15 = 110 - 11 x 3

Agora que temos a derivada , podemos encontrar os pontos críticos fazendo

L u c r o ' = 0

110 - 11 x 3 = 0

11 x 3 = 110

11 x = 330

x = 30

Passo 3

Finalmente, podemos fazer o teste da primeira derivada, analisando o sinal da derivada perto de x = 30 para verificar se é um ponto de máximo.

Então, como a derivada muda de positiva para negativa em x = 30 , podemos afirmar que esse é um ponto de máximo da função L u c r o .

Passo 4

O valor do lucro máximo é obtido substituindo x = 30 na função L u c r o .

L u c r o = 375.30 - 5.30 ² 3 - 30 2 6 - 15.30 - 500 = 1150   u n i d a d e s   m o n e t á r i a s

Resposta

x = 30   t o n e l a d a s

L u c r o = 1150   u n i d a d e s   m o n e t á r i a s

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