Seja T um triângulo de base B e altura H cujas ângulos internos em relação à base são agudos. Mostre que dentre todos os retângulos que podem ser inscritos nesse triângulo, o de maior volume tem base b = B/2 e altura h = H/2.

Passo 1

Dado o triangulo com um retângulo genérico inscrito dentro:

h

b

B

H

Onde a área máxima do retângulo inscrito é A = b h (1).

Passo 2

Por semelhança de triângulos, note que:

b B =   H - h H

Simplificando, temos:

b = B   H - h H (2)

Substituímos em (1) e obtemos a função que descreve

A = B H - h H h

ou

f b , h = B h - B h 2 H

O ponto de máximo ou mínimo dessa função é o ponto no qual o vetor gradiente é nulo, ou seja, ∇ f b , h = 0 .

Desse modo:

  • ∂ f ∂ h = 0   e   ∂ f ∂ b = 0    

  • ∂ f ∂ h = B - 2 h B H

  • B - 2 h B H = 0

  • 2 h H = 1

  • h =   H 2

    Passo 3

    Com o valor de h que maximiza a função, podemos substituir em (2) e encontrar o valor correspondente para b:

  • b = B   H - h H

  • b = B   H - H 2 H

  • b = B   H H - H 2 H

  • b = B   1 2

b = B 2

Resposta

Desse modo, o retângulo de maior volume inscrito dentro de um triangulo de base B e altura H tem base B/2 e altura H/2.

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24 t + 10 t 2 , onde s cm é a distância da bola ao ponto i
1 . Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t