Considere a reta de equação y = 2 x + 3 .

a ) Indique uma fórmula d ( x ) para a distância à origem de um ponto ( x , y ) da reta, em função da abcissa x só.

b ) Calcule o ponto que minimiza essa distância.

c ) Quanto vale essa distância mínima?

(Obs: minimizar a distância é equivalente a minimizar o quadrado da distância).

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos aqui uma reta dada por

y = 2 x + 3

queremos encontrar uma função d ( x ) que nos dê a distância de um ponto ( x , y ) pertencente à reta à origem. E, depois, minimizar esta função! Antes de tudo precisamos saber qual será essa função! Para isso vamos usar que a distância entre dois pontos é igual à

d ( x ) = | O P → |

em que O P → é um vetor que liga o ponto desejado à origem! Vamos encontrar primeiro este vetor! Saca só!

Passo 2

Temos que um ponto qualquer na reta tem o seguinte formato

P = ( x , 2 x + 3 )

e como a origem é O = ( 0,0 ) , o vetor é dado por

O B → = ( x - 0,2 x + 3 - 0 ) = ( x , 2 x + 3 )

Calculando seu módulo, temos que a distância é dada por

d ( x ) = | O B → | = ( x ) 2 + ( 2 x + 3 ) 2

Expandindo o quadrado e juntando termos semelhantes, temos que

d ( x ) = 5 x 2 + 12 x + 9

Vamos tentar minimizar essa função! Vem comigo!

Passo 3

O mínimo de uma função é obtido quando a primeira derivada é nula, nos dando assim valores de x = x 0 que são nossos pontos críticos! E, quando a segunda derivada é positiva! Portanto, vamos calcular a primeira derivada e encontrar os pontos críticos! Temos que

d d x [ d ( x ) ] = d d x [ 5 x 2 + 12 x + 9 ] = d d x [ ( 5 x 2 + 12 x + 9 ) 1 / 2 ]

Para derivar isso precisaremos utilizar a regra da cadeia, uma vez que temos a derivada de uma função composta, ou seja precisamos aplicar

d d x [ h ( g ( x ) ) ] = d h ( g ) d g d g ( x ) d x

em nosso caso temos que h ( g ) = g 1 / 2 e g ( x ) = 5 x 2 + 12 x + 9 . Usando a regra do tombo em ambas as derivadas, temos que

d d x [ d ( x ) ] = [ 1 2 g 1 / 2 - 1 ] [ 5 ( 2 ) x 2 - 1 + 12 ( 1 ) x 1 - 1 + 0 ] = 10 x + 12 2 ( 5 x 2 + 12 x + 9 ) 1 / 2

simplificando o 2 , obtemos que

d d x [ d ( x ) ] = 5 x + 6 ( 5 x 2 + 12 x + 9 ) 1 / 2

Vamos usar isso para obter o ponto crítico!

Passo 4

Temos que os pontos críticos são obtidos quando d d x [ d ( x 0 ) ] = 0 , portanto, temos que

d d x [ d ( x 0 ) ] = 5 x 0 + 6 ( 5 x 0 2 + 12 x 0 + 9 ) 1 / 2 = 0

que ocorre quando

5 x + 6 = 0

ou simplesmente

x = - 6 / 5

Temos apenas um ponto crítico! Portanto, precisamos verificar se ele é um ponto de mínimo! Para isso, precisaremos da segunda derivada! Vamo que vamo!

Passo 5

Para calcular a nossa segunda derivada temos que resolver

d d x [ d d x [ d ( x ) ] ] = d d x [ 5 x + 6 ( 5 x 2 + 12 x + 9 ) 1 / 2 ]

que é uma razão de funções! Portanto, vamos usar a regra do quociente na forma

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = d d x [ g ( x ) ] h ( x ) - g ( x ) d d x [ h ( x ) ] [ h ( x ) ] 2

como temos que h ( x ) = 5 x 2 + 12 x + 9 , podemos usar a derivada que já conhecemos. Usando que g ( x ) = 5 x + 6 , temos pela regra do tombo que

d d x [ g ( x ) ] = 5 ( 1 ) x 1 - 1 + 0 = 5

Nossa segunda derivada é então dada por

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = ( 5 ) ( 5 x 2 + 12 x + 9 ) 1 / 2 - ( 5 x + 6 ) ( 5 x + 6 ( 5 x 2 + 12 x + 9 ) 1 / 2 ) 5 x 2 + 12 x + 9 = 1 ( 5 x 2 + 12 x + 9 ) 3 / 2 [ 5 ( 5 x 2 + 12 x + 9 ) - ( 5 x + 6 ) 2 ]

Vamos usar esse formato para ver qual será o sinal da nossa segunda derivada! Vem comigo!

Passo 6

Temos que x 0 = - 6 / 5 é a raiz de 5 x + 6 , portanto o segundo termo dentro da derivada é nulo, usando no restante da derivada, temos que

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = 1 ( 5 ( - 6 / 5 ) 2 + 12 ( - 6 / 5 ) + 9 ) 3 / 2 [ 5 ( 5 ( - 6 / 5 ) 2 + 12 ( - 6 / 5 ) + 9 ) - 0 2 ] = 36 - 72 + 45 ( 36 / 5 - 72 / 5 + 45 / 5 ) 3 / 2

Resultando em

d d x [ g ( x ) h ( x ) ] = 9 ( 9 / 5 ) 3 / 2 > 0

Portanto em x 0 = - 6 / 5 temos a distância mínima! E o valor dessa distância é

d ( x = - 6 / 5 ) = 5 ( - 6 / 5 ) 2 + 12 ( - 6 / 5 ) + 9 = 9 / 5

ou, racionalizando, temos que

d ( - 6 / 5 ) = 3 5 5

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos Passos!

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24 t + 10 t 2 , onde s cm é a distância da bola ao ponto i
1 . Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t