Como deve ser escolhido o ponto P na figura (A) abaixo de modo que o ângulo θ seja máximo?

Passo 1

Iai galerinha, suave? Para respondermos essa questãozinha, vamos começar analisando a figura e fazendo um estudo de seus ângulos e do lado AB, da seguinte maneira:

Passo 2

Belezinha, agora, vamos continuar. Como o que queremos é encontrar o valor máximo para θ , então, vamos buscar uma fórmula para θ , para depois, utilizando os conhecimentos de derivada e de suas aplicações, acharmos esse valor máximo.

  • Sabemos que: θ + α + β = 180   ° ou π
  • θ =   π - α - β  

  • Pela análise da figura, também conseguimos os valores de   α e β , que serão:
  • t g α = 5 x e t g β = 2 3 - x

    α = a r c t g 5 x e β = a r c t a n 2 3 - x

  • Logo:

θ =   π - a r c t g 5 x - a r c t a n 2 3 - x  

Passo 3

Para calcular seu valor máximo, vamos precisar achar a derivada de θ , e depois igualarmos a 0. Então vamos colocar a mão na massa:

d θ d x = - 1 1 + 5 x 2 - - 5 x 2 - 1 1 + 2 3 - x 2 2 3 - x 2 = 0

d θ d x = x 2 x 2 + 25 5 x 2 - 3 - x 2 3 - x 2 + 4 2 3 - x 2 = 0

5 x 2 + 25 = 2 x 2 - 6 x + 13

2 x 2 + 50 = 5 x 2 - 30 x + 65

3 x 2 - 30 x + 15 = 0

x 2 - 10 x + 5 = 0

x = 5 ± 2 5

Como x só vai variar entre 0 e 3, que é exatamente o tamanho do lado AB, só vamos ter uma única raiz possível, sendo ela: 5 - 2 5 .

Agora, por fim, só jogarmos substituirmos pelo valor que interpretamos na figura, para acharmos a que distância o ponto P deve estra colocado do ponto A:

3 - x

3 - 5 - 2 5 = 2 5 - 2

Resposta

P deve estar colocado a 2 5 - 2 cm do ponto A.

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