Se 1.200   c m 2 de um material estiver disponível para fazer uma caixa com uma base quadrada e sem tampa. Encontre o maior volume possível para a caixa.

Passo 1

Para encontrar o maior volume possível para uma caixa com uma base quadrada e sem tampa, dado que você tem 1.200 cm² de material disponível, você pode usar cálculo.

Vamos chamar o comprimento do lado da base da caixa de "x" em centímetros.

O volume da caixa (V) é dado pela fórmula:

V   =   L a d o   d a   B a s e   c o m p r i m e n t o   d a   b a s e ⋅ L a d o   d a   B a s e   c o m p r i m e n t o   d a   b a s e ⋅ A l t u r a

Como estamos lidando com uma base quadrada, o lado da base é o mesmo em todos os lados, ou seja, x.

Agora, temos que considerar a quantidade de material disponível.

A caixa não tem tampa, então a quantidade total de material usada será a área da base mais a área das quatro laterais.

A área da base é x ⋅ x   =   x ²   c m ² .

A área das quatro laterais é 4 ⋅ ( x ⋅ a l t u r a ) , já que há quatro lados idênticos.

Portanto, a área das laterais é 4 x ⋅ a l t u r a   c m ² .

Passo 2

Agora, podemos escrever uma equação que representa a quantidade total de material disponível:

Á r e a   d a   B a s e   +   Á r e a   d a s   L a t e r a i s   =   1.200   c m ²

x 2 +   4 x ⋅ a l t u r a   =   1.200

Agora, queremos maximizar o volume (V), que é igual a x 2 ⋅ a l t u r a .

Para fazer isso, precisamos isolar a altura em termos de x na equação acima e, em seguida, substituí-lo na fórmula do volume.

1. Subtrai x ² de ambos os lados da equação:

4 x ⋅ a l t u r a   =   1.200   -   x ²

2. Divida ambos os lados por 4x para isolar a altura:

a l t u r a   = 1.200   -   x 2 4 x

Passo 3

Agora, podemos substituir esta expressão para altura na fórmula do volume:

V   =   x 2 ⋅ 1.200   -   x 2 4 x

Agora, podemos simplificar esta expressão:

V   = 1.200 x   -   x 3 4

Agora, você deseja encontrar o valor de x que maximiza o volume.

Para fazer isso, você pode derivar V em relação a x e encontrar o valor de x que torna a derivada igual a zero. Vamos fazer isso:

d V d x = 1.200   -   3 x 2 4

Agora, igualamos a derivada a zero e resolvemos para x:

1.200   -   3 x 2 4 =   0

1.200   -   3 x 2 =   0

3 x 2 =   1.200

x 2 =   400

x   =   ± 20

Neste contexto, o valor negativo de x não faz sentido, pois não pode haver um lado de comprimento negativo. Portanto, x = 20 cm.

Passo 4

Agora que encontramos o valor de x, podemos encontrar a altura correspondente:

a l t u r a   = 1.200   -   x 2 4 x

a l t u r a   = 1.200   -   20 2 4   *   20

a l t u r a   = 1.200   -   400 80

a l t u r a   = 800 80

a l t u r a   =   10   c m

Agora que temos o valor de x (20 cm) e a altura (10 cm), podemos calcular o maior volume possível da caixa:

V   =   x 2 ⋅ a l t u r a

V   =   20 ² ⋅ 10

V   =   400 ⋅ 10

V   =   4.000   c m ³

Portanto, o maior volume possível para a caixa é de 4.000   c m ³ .

Resposta

4.000   c m ³ .

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