A área entre dois círculos concêntricos variáveis �� constante igual a 9 π m 2 . A taxa de variação da área do círculo maior é de 10 π   m 2 / s . Qual a taxa de variação do raio em relação ao tempo do círculo menor quando ele tem área 16 π ?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa é uma questão de taxas relacionadas, vamos ver o que o problema nos diz! Ela nos diz que temos dois círculos cuja área entre eles é constante e vale 9 π . Temos também a taxa de variação do círculo de fora, e temos também a área do menor. E pediu a taxa de variação do raio da menos área em relação ao tempo. E agora, como relacionar?

Mas espera aí! Sabemos que a área compreendida entre eles é constante

9 π = A m a i o r - A m e n o r

E a área menor é π r 2

9 π = A m a i o r - π r 2

Então vamos derivar dos dois lados em relação ao tempo e substituir nos dados! Quando a área do menor é 16 π seu raio vale π r 2 = 16 π → r = 4

Tranquilo? Relaxa, vou fazer passo a passo contigo!

Bora lá!

Passo 2

Derivando a fórmula da área em relação ao tempo temos

9 π = A m a i o r - π r 2

0 = d A d t - π . 2 r d r d t

Agora vamos os dados:

r = 4

d A d t = 10 π   m 2 / s  

d r d t = q u e r e m o s

Assim

d r d t = 10 8 = 5 4 m / s

E é isso! Até a próxima!

Resposta

5 4 m / s

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