Determine os pontos sobre a parábola y = x 2 + 1 que estão mais próximos e distantes do ponto P = ( 0 ,   3 ) para x ∈ [ - 2 ,   2 ] . Qual é a menor distância? E a maior distância? Faça um desenho representando todos os pontos envolvidos.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os pontos de mínimo e máximo da função distância entre a parábola y = x 2 + 1 e o ponto P = ( 0 ,   3 ) .

Pra isso, nós vamos precisar lembrar que a fórmula da distância entre dois pontos A = ( a 1 ,   a 2 ) e B = ( b 1 ,   b 2 ) é dada por:

d A ,   B = a 1 - b 1 2 + a 2 - b 2 2

Em nosso caso, consideraremos A = x ,   y = ( x ,   x 2 + 1 ) um ponto sobre a parábola y = x 2 + 1 e B = ( 0 ,   3 ) . Então, podemos reescrever a função distância como:

d A ,   B = x - 0 2 + y - 3 2 = x 2 + x 2 - 2 2 = x 4 - 3 x 2 + 4 = d ( x )

Sendo assim, para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função d ( x ) , vamos considerar uma função f x = d 2 ( x ) . Desse modo, vamos ter que encontrar os mínimos/máximos da função f : - 2 ,   2 → R dada por:

f x = x 4 - 3 x 2 + 4

E pra isso vamos derivar f ( x ) , encontrar seus pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para saber se são pontos de máximo ou de mínimo.

Vamos lá!

Passo 2

Como f é uma função contínua em [ - 2 ,   2 ] , pelo Teorema do Valor Extremo, f assume seus valores de máximo e mínimos absolutos em [ - 2 ,   2 ] .

Então, derivando e calculando seus pontos críticos em ( - 2 ,   2 ) , temos:

f ' x = 0

f ' x = 4 x 3 - 6 x = 0

x 4 x 2 - 6 = 0

Dessa forma, vamos obter:

x = 0

ou

4 x 2 - 6 = 0 → 4 x 2 = 6

x = ± 6 2

Passo 3

Pra usar o teste da segunda derivada, vamos derivar novamente f ' x = 4 x 3 - 6 x :

f ' ' x = 12 x 2 - 6

Aplicando os pontos críticos x = 0 , x = 6 2 e x = - 6 2 , temos:

f ' ' 0 = 12 ( 0 ) 2 - 6 = - 6 < 0

f ' ' 6 2 = 12 6 2 2 - 6 = 12 > 0

f ' ' - 6 2 = 12 - 6 2 2 - 6 = 12 > 0

Pelo teste da segunda derivada, nos casos em que f ' ' é negativa, temos um ponto de máximo e nos casos em que f ' ' é positiva, temos um ponto de mínimo. Então, podemos afirmar que x = 0 é um ponto de máximo local da função e x = ± 6 2 são mínimos locais.

Substituindo esses valores de x na função f x = x 4 - 3 x 2 + 4 , vamos obter:

f 0 = ( 0 ) 4 - 3 ( 0 ) 2 + 4 = 4

f ± 6 2 = ± 6 2 4 - 3 ± 6 2 2 + 4 = 7 4

Passo 4

Por fim, precisamos averiguar os valores que f assume nos extremos do intervalo [ - 2 ,   2 ] :

f ± 2 = ± 2 4 - 3 ± 2 2 + 4

= 16 - 12 + 4 = 8

Portanto, os mínimos absolutos de f são assumidos em x = ± 6 2 e os máximos absolutos de f são assumidos em x = ± 2 .

Concluímos então que os pontos sobre a parábola y = x 2 + 1 que estão mais próximos e distantes do ponto P = ( 0 ,   3 ) , para x ∈ - 2 ,   2 , são x = ± 6 2 e x = ± 2 , respectivamente.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = ± 6 2     e     x = ± 2

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