4. Um determinado produto tem um preço de custo de R $   0,70 por unidade, e ao vender o produto por R $   1,50 , é possível vender 500   u n i d a d e s . Além disso, a cada centavo descontado no preço, é possivel aumentar a venda em 25   u n i d a d e s . Reciprocamente, ao aumentarmos em um centavo o preço de venda, deixamos de vender 25   u n i d a d e s . Que preço deve ser cobrado no produto, para que o lucro obtido seja máximo?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui, nós temos uma questão de otimização, onde queremos encontrar o lucro máximo que podemos ter com essas vendas.

De um modo geral, podemos dizer que o lucro será dado pela quantidade de peças vendidas multiplicada pelo preço de venda, descontado do preço de custo. Transformando em fórmula fica assim:

L u c r o = p r e ç o   d e   v e n d a - p r e ç o   d e   c u s t o × q u a n t i d a d e   v e n d i d a

Vamos considerar tudo em centavos para facilitar os cálculos, e colocar algumas informações já fornecidas pelo problema nessa fórmula!

Vamos considerar

x = p r e ç o   d e   v e n d a

E temos que o custo fornecido pelo enunciado é

p r e ç o   d e   c u s t o = 70

Logo o nosso lucro fica assim

L u c r o = x - 70 × q u a n t i d a d e   v e n d i d a

Para substituir a quantidade vendida nessa formula, precisamos de atenção!

Passo 2

Repara que o enunciado diz o valor é de 150   c e n t a v o s para 500   u n i d a d e s . Porém se pode ser dado um desconto de 1   c e n t a v o a cada 25   u n i d a d e s a mais. Deste modo, podemos dizer que a quantidade vendida será

q u a n t i d a d e   v e n d i d a = 500 + 25 ( 150 - x )

Lembrando que x é o nosso p r e ç o   d e   v e n d a .

Passo 3

Juntando tudo na nossa função de lucro L x , ficamos com

L x = x - 70 500 + 25 150 - x

Reescrevendo:

L x = - 25 x 2 + 6000 x - 297500

Mas repara que essa função tem que ser limitada, pois se cobramos um valor menor que o valor de custo ( 70   c e n t a v o s ) teremos prejuízo. Assim como, se cobramos um valor muito alto não venderemos nenhuma unidade. Como a função lucro é uma função do segundo grau, podemos calcular as raízes com a fórmula de Baskhara, e encontraremos que esse valor máxmo é de 1 70   c e n t a v o s . Portanto, temos:

x = - 25 x 2 + 6000 x - 297500                       p a r a   70 ≤ x ≤ 170

Agora vamos achar o máximo global neste intervalo de [ 70,170 ] , visando encontrar o lucro máximo.

Passo 4

Primeiramente vamos achar os pontos críticos! Fazemos isso, derivando a nossa função e igualando a zero.

L x = - 25 x 2 + 6000 x - 297500

Derivando,

L ' x = - 500 x + 6000

Igualando a zero,

- 500 x + 6000 = 0

Resolvendo essa equação temos que

x = 120

Mas ainda não sabemos se este é um ponto de máximo ou de mínimo. Nós vamos descobrir isso, comparando com outros pontos conhecidos!

Passo 5

Pela fórmula do lucro e como discutido no Passo 3, temos que

L 70 = L 170 = 0

Pois com esses preços não teríamos lucro.

Agora vamos substituir x = 120 na fórmula do lucro e se encontramos uma valor maior que zero, temos que esse será o valor máximo, ou seja, o lucro máximo

L 120 = - 25   × 120 2 + 6000 × 120 - 297500

L 120 = 18.750.000

Como o valor é maior que zero, temos que esse é um ponto de máximo! Como essa função é de segundo grau, já poderíamos desconfiar disso, pois ela é uma parábola aberta pra baixo. Mas fazendo essa comparação, você consegue descobrir mesmo no caso de funções que você não conhece a geometria.

Então, para máximar o lucro, o preço a ser cobrado será de 120   c e n t a v o s . Passando para reais ficamos com R $   1,20 .

Resposta

R $   1,20

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito na elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1
Um cilindro circular reto é inscrito em uma esfera de raio r . Encontre o maior volume possível desse cilindro.
20 Um foguete é lançado verticalmente pra cima e após t s ele está a s m do solo, onde s = 560 t - 16 t 2 e o sentido positivo é pra cima. Ache A velocidade do foguete 2s após o lançamentoQuanto tempo
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de 24 cm/s ao descer um certo plano inclinado, então s = 24 t + 10 t 2 , onde s cm é a distância da bola ao ponto i
1 . Uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde s cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto O em t s. Ache a velocidade instantânea v ( t