Uma câmera colocada no solo está filmando um ônibus espacial que está subindo verticalmente de acordo com a equação s   =   15 t 2 , sendo s a altura e t o tempo. A câmera está a 600 m do local de lançamento. Calcule a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial no instante t = 10 segundos após o lançamento (suponha que a câmera e a base do ônibus estão no mesmo nível no instante inicial t = 0).

Passo 1

Primeiro, vamos começar com a equação que relaciona a altura s   do ônibus espacial com o tempo t

  s   =   15 t 2

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial em relação ao tempo.

A distância entre a câmera e o ônibus espacial é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde um dos catetos é a altura do ônibus s   e o outro cateto é a distância entre a câmera e a base do ônibus (que é constante a 600 m).

Vamos chamar a distância entre a câmera e a base do ônibus de d ,   e a hipotenusa (distância entre a câmera e o ônibus) de h :

h 2 = s 2   +   d 2

Substituindo   s   =   15 t 2   e     d   =   600   m :

h 2   =   15 t 2 2   +   600 2

Simplificando:

h 2 =   225 t 4   +   360000

Passo 2

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação com relação ao tempo t usando a regra da cadeia:

2 h ⋅ d h d t =   4 ⋅   225 t 3 ⋅ d t d t

Simplificando:

2 h ⋅ d h d t =   900 t 3

Agora, vamos isolar d h / d t , que é a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial em relação ao tempo:

d h d t = 900 t 3 2 h

Passo 3

Agora, queremos encontrar a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial 10 segundos após o lançamento t = 10 :

Primeiro, calculamos a altura do ônibus espacial nesse momento:

s = 15 t 2 = 15 ⋅ 10 2 = 1500   m

Agora, calculamos a hipotenusa h usando a fórmula h 2 = s 2   +   d 2 :

h 2 = 1500 2 + 600 2

h 2 = 2250000 + 360000

h 2 = 2610000

h = 2610000

h = 1615.54944   m

Agora, substituímos esses valores na fórmula da taxa de variação d h d t = 900 t 3 / 2 h

d h d t = 900 ⋅ 10 3 2 1615.54944

d h d t = 278,54301

Portanto, a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial 10 segundos após o lançamento é aproximadamente 27 8.54 metros por segundo.

Resposta

Portanto, a taxa de variação da distância entre a câmera e a base do ônibus espacial 10 segundos após o lançamento é aproximadamente 278.54 metros por segundo.

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