Qual é o paralelepípedo retangular de base quadrada e volume 8   m 3 que tem a menor área total?

Passo 1

Vamos encontrar o paralelepípedo retangular de base quadrada com volume 8 m³ que tem a menor área total.

Denotaremos o comprimento de um lado da base quadrada como "a" metros, a largura como "b" metros e a altura como "h" metros. Sabemos que o volume (V) de um paralelepípedo é dado por:

V   =   a   *   b   *   h   =   8   m ³

Queremos minimizar a área total (A) do paralelepípedo, que é a soma das áreas de todas as suas faces. A área total é dada por:

A   =   2 a b   +   2 a h   +   2 b h

Agora, vamos isolar uma das variáveis nas equações acima e substituir nas fórmulas da área total:

1. Isolamos "h" na equação do volume:

h   = 8 a b

2. Substituímos "h" na fórmula da área total:

A   =   2 a b   +   2 a 8 a b +   2 b 8 a b

Agora, simplificamos a expressão:

A   =   2 a b   +   16 a b +   16 b a

Passo 2

Para minimizar a área total, devemos encontrar os valores de "a" e "b" que minimizam essa expressão.

Agora, usamos o princípio do cálculo para encontrar os valores críticos, que são os valores de "a" e "b" para os quais a derivada de A em relação a "a" e "b" é igual a zero.

Vamos encontrar a derivada parcial de A em relação a "a" e "b":

∂ A ∂ a   =   2 b   -   16 a b 2

∂ A ∂ b   =   2 a   -   16 b a 2

Agora, igualamos essas derivadas a zero:

2 b   -   16 a b 2 =   0

2 a   -   16 b a 2 =   0

Resolvemos essas equações para "a" e "b":

Passo 3

1. A partir da primeira equação:

2 b   =   16 a b 2

2 b 3 =   16 a

Dividindo ambos os lados por 2:

b 3 =   8 a

2. A partir da segunda equação:

2 a   =   16 b a 2

2 a 3 =   16 b

Dividindo ambos os lados por 2:

a 3 =   8 b

Agora, temos um sistema de duas equações:

b 3 =   8 a

a 3 =   8 b

Podemos ver que essas equações têm uma solução comum: a   =   b   =   2 .

Passo 4

Portanto, o paralelepípedo retangular de base quadrada com volume 8 m³ e a menor área total possível é um cubo com aresta de comprimento igual a 2 metros. A área total será:

Extra:

A   =   2 a b   +   16 a b +   16 b a

=   2 2   *   2 +   16   * 2 2 +   16   * 2 2

  =   24   m e t r o s   q u a d r a d o s .

Portanto, o cubo de aresta 2 metros é a resposta correta, com a menor área total.

Resposta

: a   =   b   =   2 .

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