Um fabricante de um determinado produto sabe que se x produtos forem produzidos, cada um poderá ser vendido por 1000 - x reais. Sabe-se que o custo de produção de x produtos é de C x = 200 x . Quantos produtos o fabricante deve produzir para obter um lucro máximo e qual será o valor desse lucro?

Passo 1

E aí, galera!! Tudo bem?

Esse exercício aqui é legal porque traz uma utilidade clara e prática das coisas que a gente vê em cálculo. Agora, vamos raciocinar...se a gente sabe quanto vale cada produto e o valor de custo de cada um desse produto, a gente consegue definir o lucro, certo?

Pois o lucro é aquilo que eu ganho por cada produto, subtraindo a quantidade gasta na produção. Em outras palavras:

L x = x × G x - C x

Onde L x ,   G x e C ( x ) representa o lucro, ganho e custo, respectivamente.

Sabemos que se derivarmos uma função e igualarmos a zero, podemos encontrar o ponto de máximo ou mínimo. E com isso, saber quantos produtos precisaremos fabricar. Então, vamos que vamos!!

Passo 2

Vamos começar substituindo as expressões de ganho e custo.

L x = 1000 - x x - 200 x

Derivando, vamos ter:

L x = 1000 x - x 2 - 200 x

L ' x = 1000 - 2 x

Igualando a derivada a zero, temos:

1000 - 2 x = 0

x = 500

Ou seja, a maior quantidade de produtos que pode ser produzida de tal forma que gerará o maior lucro é de 500 peças.

Passo 3

Portanto, o lucro máximo será quando 500   peças forem produzidas.

L x = 1000 - 500 × 500 - ( 200 × 500 )

L m á x x = 500 = 150000   r e a i s

Resposta

500 peças e Lmáx = R$ 150000

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