Exercícios Resolvidos de Otimização

UFF - Cálculo IA – GMA – 2008.2 – Lista 16 - 10

Um fabricante produz por semana x toneladas de um certo produto. O preço de venda é de p unidades monetárias por tonelada do produto e está relacionado com x por 5 x = 375 - 3 p , p ≥ 0 . O custo de produção é de C x = 5 + 15 x + x ² / 6 unidades monetárias. Determine x para que o lucro ( = v e n d a - c u s t o ) seja máximo. Determine, também, o lucro máximo.

Passo 1

Deve-se desenhar o problema e anotar as condições dadas, o que é super importante para um melhor entendimento do problema.

Não tem muito o que desenhar aqui, então vamos para o passo 2.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que escrever equações que relacionam as variáveis do problema. Nesse passo, podem ser necessários conhecimentos básicos de geometria, trigonometria, etc.

Tá, vamos ver todas as informações que o problema nos deu aqui.

5 x = 375 - 3 p

x é a quantidade de produtos. p é o preço de venda. Temos também: C x = 5 + 15 x + x 2 6

Que é o custo de produção. Não é, porém, essa função que ele quer otimizar. É a função lucro que será a venda menos o custo:

L = V - C = p x - C ( x )

Onde p x é o preço de cada unidade multiplicado pela quantidade delas.

L x = p . x - C x

Passo 3

Analisando as equações, chegamos na função que desejamos otimizar em função de apenas uma variável.

O problema é que p não é constante. Depende de x . Temos que deixar isso aí em função de x para podermos otimizar. Então voltamos na primeira equação e isolamos p :

5 x = 375 - 3 p ⟹ p = 1 3 ( 375 - 5 x )

O que, se substituirmos os valores das relações do enunciado, fica assim:

L x = 125 - 5 x 3 x - 5 + 15 x + x 2 6

L x = 125 x - 5 x 2 3 - 5 - 15 x - x 2 6

L x = - 11 x 2 6 + 110 x - 5

Passo 4

Derivamos essa função e achamos os pontos críticos.

Para acharmos os pontos críticos, onde estarão localizados os pontos de máximo e mínimo, devemos derivar:

L ' x = - 11 x 3 + 110

Os pontos críticos estão onde a derivada não existe ou é zero. Ela sempre vai existir, pois é um polinômio. Vamos ver quando é zero:

- 11 x 3 + 110 = 0 ⟹ 11 x 3 = 110 ⟹ x = 30

Passo 5

Analisamos os sinais das derivadas antes e depois dos pontos críticos para garantir que sejam máximo ou mínimo.

Podemos escolher um valor à esquerda x = 0 e outro à direita x = 60 :

L ' ( 0 ) = + 110 > 0

L ' 60 = - 11 ⋅ 60 3 + 110 = - 110 < 0

Como é positiva à esquerda e negativa à direita, temos aí um ponto de máximo.

Passo 6

Caso achemos mais de um ponto crítico, temos que testá-los na função para ver qual deles é melhor (que dá um valor de máximo maior ou um valor de mínimo menor).

Não há outros máximo para comparar, então vamos para o outro passo.

Passo 7

Pegamos o melhor ponto crítico obtido no passo 6 e comparamos com os valores na fronteira da função. O melhor valor de todos será o valor ótimo.

x pode ir de zero, pois não tem como ter quantidade negativa, até mais infinito.

L 0 = - 5

E:

lim x → ∞ ⁡ - 11 x 2 6 + 110 x - 5 = - ∞

No nosso ponto de máximo:

L 30 = - 11 30 2 6 + 110 30 - 5

L 30 = 1645

Comparando com outros valores, concluímos que se trata de um ponto de máximo global.

Resposta

x = 30   t o n .   ; L 30 = 1645   u n i .   m o n .

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