Deseja-se construir um prédio em forma prisma retangular reto de modo a minimizar as perdas de calor pela superfície do prédio. As fachadas norte e sul perdem calor a uma taxa de 10   u n i d a d e s / m 2 por dia; as fachadas leste e oeste perdem por dia 20   u n i d a d e s / m 2 a cada dia; já o piso e o teto perdem calor a uma taxa de 2   u n i d a d e / m 2 por dia. Suponha que o volume do prédio deve ser de 4000 m 3 , que cada fachada deve ter ao menos 20   m de comprimento e que a altura do prédio deve ser de no mínimo 5   m .

a) Determine e esboce o domínio da função que descreve a perda de calor por dia em

função do comprimento e largura do prédio.

b) Encontre as dimensões que minimizem a perda de calor por dia.

c) Seria possível, removendo a restrição sobre a altura do prédio, projetar um prédio

que tenha menor perda de calor? Justifique.

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Dessa vez uma de otimização. O enunciado é bem grande, mas de forma simplificada o que ele tá dizendo é que temos um prédio retangular, com as seguintes restrições de dimensões:

O volume do prédio deve ser de 4000 m 3 , que cada fachada deve ter ao menos 20   m de comprimento e que a altura do prédio deve ser de no mínimo 5   m .

Ou seja, se as dimensões forem l ,   l a r g u r a ;   b   b a s e ;   h   a l t u r a     , então

l , b > 20

h > 5

l b h = 4000

Além disso, temos as perdas térmicas de cada face do prédio

norte e sul perdem calor 10   u n i d a d e s / m 2

leste e oeste perdem calor 20   u n i d a d e s / m 2

o piso e o teto perdem calor 2   u n i d a d e / m 2

Show? vamos começar pela letra a)

Passo 2

  1. Determine e esboce o domínio da função que descreve a perda de calor por dia em

função do comprimento e largura do prédio.

como sabemos quanto cada face perde por área,

norte e sul perdem calor 10   u n i d a d e s / m 2

leste e oeste perdem calor 20   u n i d a d e s / m 2

o piso e o teto perdem calor 2   u n i d a d e / m 2

então a perda de calor será:

C ( b , l , h ) = 20 b h + 40 l h + 4 b l

Show? (não esqueçam de contar as duas faces)

Passo 3

Agora, vamos para a letra c)

Se retirarmos a restrição da altura, podemos tentar otimizar usando multiplicadores de lagrange em

C ( b , l , h ) = 20 b h + 40 l h + 4 b l

l b h = 4000

Vamos tentar otimizar sem restrições. Lembrando que temos que resolver o sistema

∇ f = λ ∇ g

g ( b , l , h ) = k

No nosso caso

f ( b ,   l , h )   =   C ( b , l , h )  

g ( b , l , h ) = l b h = 4000

para isso, vamos calcular as derivadas parciais de C

d d b C ( b , l , h ) = 20 h + 4 l

d d l C ( b , l , h ) = 40 h + 4 b

d d h C ( b , l , h ) = 20 b + 40 l

As derivadas parciais de g são:

d d b g ( b , l , h ) = l h

d d l g ( b , l , h ) = b h

d d h g ( b , l , h ) = b h

Passo 4

Com as derivadas que calculamos no passo anterior, podemos montar o sistema para otimizarmos a função

∇ f = λ ∇ g

g ( b , l , h ) = k

Então o sistema fica

20 h + 4 l = λ l h

40 h + 4 b = λ b h

20 b + 40 l = λ b l

l b h = 4000

Vamos resolver o sistema. Dividindo a primeira equação pela terceira, obtemos que

b = 10 h

dividindo a primeira pela segunda, obtemos que

b = 2 l

Juntando esses dois resultados, chegamos a conclusão que

l = 5 h

Agora, podemos substituir esses resultados na última condição

l b h = 4000

Fazendo isso, obtemos:

50 h 3 = 4000

⇒ h = 2 10 3

≃ 4.3

Ou seja, o nosso mínimo ocorre com h < 5 . Logo, se retirarmos a restrição de altura do prédio é possível obter uma menor perda de calor.

Passo 5

Agora, vamos para a letra b)

Encontre as dimensões que minimizem a perda de calor por dia. Ou seja, queremos as dimensões que minimizem

C ( b , l , h ) = 20 b h + 40 l h + 4 b l

sabendo que

l , b ≥ 20

h ≥ 5

l b h = 4000

Bem, já vimos que o mínimo global ocorre quando h ≃ 4.3 . Mas nossa restrição pede que h ≥ 5 . O que podemos fazer?

Vamos checar os bordos domínio. Isso é, vamos verificar qual das restrições entre h = 5 ,   o u   l = 20 ,   o u   b = 20 geram o mínimo.

Vamos começar com h = 5

fazendo isso temos:

C ( b , l , h ) = 100 b + 200 l + 4 b l

usando o fato que

l b h = 4000

⇒ b l = 800

Logo a nossa função fica

C ( b , l , h ) = 100 b + 200 * 800 b + 4 * 800

que é uma função de uma variável. Vamos minimizar. Derivando e igualando a zero descobrimos que

b = 40

O que implica que

l = 20

Logo chegamos aos pontos

l = 20 , b = 40 ,   h = 5

No caso as outras condições irão gerar valores maiores para C ( b , l , h ) . Então os valores acima gram o mínimo da função considerando as restrições.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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