Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

USP, Cálculo 1, P1 - 2015, Questão 1 a

a ) lim x - 4 x 2 - sen x 2 2 x 3 sen 1 x - 5 x 2

Passo 1

Vou dividir o termo todo, em cima e embaixo para manter a igualdade, por x 2 , já que assim em deixo dois termos com grau 0 e os outros dois do seno já encaminhados:

lim x - 4 - sen x 2 x 2 2 x sen 1 x - 5

Ainda não visualizou por que eles ficam encaminhados? Vou fazer com calma um de cada vez:

lim x - sen x 2 x 2

Digamos que, para simplificar a conta, eu chame x 2 de u , o que faria que, como x - , o u + :

lim u + sen u u

Esse cara aí sai pelo Teorema do confronto. A gente vai concluir que vai para zero!

lim u + sen u u = 0

Agora o outro. Vou escrever colocando apenas um detalhezinho diferente:

lim x - x sen 1 x = lim x - sen 1 x 1 x

Repara que esse, assim como o outro, acaba ficando com o mesmo termo dentro do seno e fora dividindo o seno. Chamo t = 1 x , o que faria com que, se x - , t 0 :

lim t 0 sen t t

Limite fundamental! Isso vai dar 1 :

lim t 0 sen t t = 1

Agora vamos voltar para o limite do início e substituir esses valores:

lim x - 4 - sen x 2 x 2 2 x sen 1 x - 5

= 4 - 0 2 1 - 5 = 4 - 3

= - 4 3

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Resposta

lim x - 4 x 2 - sen x 2 2 x 3 sen 1 x - 5 x 2 = - 4 3

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