Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

UNICAMP, Cálculo 1, P1 - 2019.1, Questão Q02c

2c) Calcule os limites abaixo ou prove que não existe (sem usar a Regra de L'Hospital).

l i m x → 0 +   x   s i n 2 l n   x      

Passo 1

Ô limite feio! Mas relaxa, vamos tirar de letra. Pra entender o resultado dele, vamos lembrar de uma propriedade importante do seno:

- 1 ≤   s i n   ●   ≤ 1

Pera, o que é ? Essa bolinha está aí só pra representar que o seno de qualquer coisa, até mesmo seno de bolinha, está sempre entre - 1 e 1 . E bem, qualquer número que esteja entre - 1 e - 1 , ao quadrado, permanece entre esses números. Logo vamos ter:

- 1 ≤   s i n   ●   ≤ 1

Como queremos s i n 2 , então o intervalo será de 0 até 1.

0   ≤ s i n 2   ●   ≤ 1

Bem, a bolinha não pode ser qualquer coisa? Então se ● = l n l n   x   ...

0   ≤ s i n 2 l n   x     ≤ 1

E multiplicando tudo por x temos:

0 ≤ x   s i n 2 l n   x     ≤ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, mas e daí? O que eu faço com isso?:

0 ≤ s i n 2 l n   x     ≤ x

Nota o seguinte, a função no interior é exatamente a mesma que a do limite que queremos calcular. Então pelo Teorema do Confronto, podemos aplicar o limite em todas as três funções:

  l i m x → 0 + 0 ≤   l i m x → 0 +   x   s i n 2 l n   x       ≤   l i m x → 0 +   x  

0 ≤ x   s i n 2 l n   x       ≤ 0

E prontinho! Se meu limite está entre zero e zero então não tem jeito, ele é zero!

l i m x → 0 +   x   s i n 2 l n   x       = 0

Resposta

l i m x → 0 +   x   s i n 2 l n   x       = 0

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