Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

USP, Cálculo 1, P1 - 2010, Questão 1 a ii

( a ) Calcule, caso existam, os seguintes limites:

i i )   lim x + 2 x + cos x + 3 x x + sen x

Passo 1

Substituindo o limite vamos achar uma indeterminação bem estranha:

lim x + 2 x + cos x + 3 x x + sen x

= + cos + sen

Vamos botar o x em evidência em cima e embaixo e cortá-lo:

lim x + 2 x + cos x + 3 x x + sen x = lim x + x 2 + cos x x + 3 x x 1 + sen x x

= lim x + 2 + cos x x + 3 x 1 + sen x x

Vamos analisar então limite por limite.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que - 1 cos x 1 . Dessa maneira, pelo Teorema do Confronto achamos que

lim x + - 1 x lim x + cos x x lim x + 1 x

0 lim x + cos x x 0

Concluímos que lim x + cos x x = 0 .

Pelo mesmo Teorema podemos provar, já que - 1 sen x 1 que

lim x + - 1 x lim x + sen x x lim x + 1 x

0 lim x + sen x x 0

Logo, lim x + sen x x = 0 .

Ainda temos que lim x + 3 x = 0 .

Passo 3

Agora podemos voltar para o limite de antes e substituir os 3 valores:

lim x + 2 + cos x x + 3 x 1 + sen x x

= 2 + 0 + 0 1 + 0

= 2

Resposta

lim x + 2 x + cos x + 3 x x + sen x = 2

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