Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

USP, Cálculo 1, P1 - 2011, Questão 1 b

Calcule o limite ou explique porque não existe.

b   lim x 1 sen x 2 - 1 + 1 - cos x - 1 sen 1 x - 1 x - 1

Passo 1

Se a gente substituir x 1 nesse cara vai cair numa indeterminação feia, nem vale à pena escrevê-la. Agora, não sei se já te saltou aos olhos, mas esse limite tem muitos termos ( x - 1 ) . É o seguinte, vou fazer uma substituiçãozinha:

u = x - 1

x 1   ; u = 1 - 1 = 0   ; u 0

Assim, o limite fica:

lim x 1 sen ( x + 1 ) ( x - 1 ) + 1 - cos x - 1 sen 1 x - 1 x - 1

= lim u 0 sen u + 2 u + 1 - cos u sen 1 u u

= lim u 0 sen u + 2 u u + lim u 0 1 - cos u sen 1 u u

Vamos agora resolver cada um dos limites.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver esse termo do seno podemos forçar a aparecer ali o limite Fundamental multiplicando em cima e embaixo por ( u + 2 ) :

lim u 0 sen u + 2 u u = lim u 0 sen u + 2 u u u + 2 u + 2

= lim u 0 sen u + 2 u u + 2 u u + 2

= lim u 0 u + 2 lim u 0 sen u + 2 u u u + 2

= 0 + 2 lim t 0 sen t t

= 2 1

= 2

Passo 3

Para o outro limite usaremos o Teorema do Confronto:

- 1 sen 1 u 1

lim u 0 - 1 - cos u u lim u 0 1 - cos u sen 1 u u lim u 0 1 - cos u u

Quando ao limite à esquerda e à direta das inequações:

lim u 0 1 - cos u u = lim u 0 1 - cos u u 1 + cos ( u ) 1 + c o s ( u ) = lim u 0 1 - cos 2 u u ( 1 + cos ( u ) ) = lim u 0 sen 2 u u ( 1 + cos ( u ) )

Podemos tirar o limite fundamental disso aí:

lim u 0 sen 2 u u ( 1 + cos ( u ) ) = lim u 0 sen u u lim u 0 sen u 1 + cos u = 1 0 2 = 0

Com isso, concluímos que, pelo teorema do confronto:

lim u 0 1 - cos u sen 1 u u = 0

Passo 4

Agora voltamos à soma de limites inicial e tomamos o resultado final:

lim u 0 sen u + 2 u u + lim u 0 1 - cos u sen 1 u u

= 2 + 0

= 2

Resposta

lim x 1 sen x 2 - 1 + 1 - cos x - 1 sen 1 x - 1 x - 1 = 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas