menu

Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

  • Teoria Completa
  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • Exercicio 5
  • 6
  • 7
  • 8
  • 9
  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
  • 14
  • 15
  • 16
  • 17
  • 18
  • 19
  • 20
  • 21
  • 22
  • 23
  • 24
  • 25
  • 26
  • 27
  • 28
  • 29
  • 30
  • 31
  • 32
  • 33
Pagina Inicial > Cálculo > Limites > Teorema do Confronto

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 15.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x → 0 + ⁡ c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x  

Passo 1

Começo substituindo o valor do limite:

lim x → 0 + ⁡ c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x   = cos ⁡ ∞ sen ⁡ 0 0

Acontece que não sabemos como convergirá esse cosseno aí. Mas um problema de cada vez, primeiro vamos olhar para o termo dentro do seno e tentar definir para onde ele converge:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x = 0 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver esse cara a melhor saída é multiplicar pelo conjugado do cara de cima e cortar com o de baixo:

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x = lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x x + 1 + 1 x + 1 + 1

= lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x x + 1 + 1 = lim x → 0 + ⁡ x x x + 1 + 1

Corta o x de cima com o x de baixo:

lim x → 0 + ⁡ x x x + 1 + 1 = lim x → 0 + ⁡ x x + 1 + 1

= 0 0 + 1 + 1 = 0

Conclusão,

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x = sen ⁡ 0 = 0

Passo 3

Agora a ideia é observar que o cos ⁡ 1 x está delimitado entre - 1 e 1 , como todo cosseno.

- 1 ≤ cos ⁡ 1 x ≤ 1

Logo,

- lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x ≤ lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x

Porém, como já vimos no primeiro passo,

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x = 0

Então os limites da ponta vão zerar. Com isso, o limite central será:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x + 1 - 1 x cos ⁡ 1 x = 0

Responde Aí

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Acesse com Facebook Acesse com Google

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas