Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 15.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 0 + c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x  

Passo 1

Começo substituindo o valor do limite:

lim x 0 + c o s 1 x s e n x + 1 - 1 x   = cos sen 0 0

Acontece que não sabemos como convergirá esse cosseno aí. Mas um problema de cada vez, primeiro vamos olhar para o termo dentro do seno e tentar definir para onde ele converge:

lim x 0 + x + 1 - 1 x = 0 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para resolver esse cara a melhor saída é multiplicar pelo conjugado do cara de cima e cortar com o de baixo:

lim x 0 + x + 1 - 1 x = lim x 0 + x + 1 - 1 x x + 1 + 1 x + 1 + 1

= lim x 0 + x + 1 - 1 x x + 1 + 1 = lim x 0 + x x x + 1 + 1

Corta o x de cima com o x de baixo:

lim x 0 + x x x + 1 + 1 = lim x 0 + x x + 1 + 1

= 0 0 + 1 + 1 = 0

Conclusão,

lim x 0 + sen x + 1 - 1 x = sen 0 = 0

Passo 3

Agora a ideia é observar que o cos 1 x está delimitado entre - 1 e 1 , como todo cosseno.

- 1 cos 1 x 1

Logo,

- lim x 0 + sen x + 1 - 1 x lim x 0 + sen x + 1 - 1 x cos 1 x lim x 0 + sen x + 1 - 1 x

Porém, como já vimos no primeiro passo,

lim x 0 + sen x + 1 - 1 x = 0

Então os limites da ponta vão zerar. Com isso, o limite central será:

lim x 0 + sen x + 1 - 1 x cos 1 x = 0

Resposta

lim x 0 + sen x + 1 - 1 x cos 1 x = 0

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