Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → + ∞ ⁡ x - sen ⁡ x x + sen ⁡ x

Passo 1

Por substituição direta esse limite resulta na indeterminação - ∞ ∞ , por isso temos que manipulá-lo pra sair dessa. Observe a mágica que vai acontecer:

lim x → + ∞ ⁡ x - sen ⁡ x x + sen ⁡ x = l i m x → + ∞ x - sen ⁡ x x x + sen ⁡ x x

l i m x → + ∞ x x - sen ⁡ x x x x + sen ⁡ x x

l i m x → + ∞ 1 - sen ⁡ x x 1 + sen ⁡ x x

Passo 2

Usando a propriedade dos limites que permite transformar o limite de um quociente em um quociente de limites teremos:

l i m x → + ∞ 1 - sen ⁡ x x l i m x → + ∞ 1 + sen ⁡ x x

l i m x → + ∞ 1 - l i m x → + ∞ sen ⁡ x x l i m x → + ∞ 1 + l i m x → + ∞ sen ⁡ x x

1 - l i m x → + ∞ sen ⁡ x . 1 x 1 + l i m x → + ∞ sen ⁡ x . 1 x

Como sen ⁡ x é uma função limitada e

l i m x → + ∞ 1 x = 0

Podemos usar o Teorema do Anulamento e obter

1 - 0 1 + 0 = 1 1 = 1

Resposta

1

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Suponha que, para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.