Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x sen ⁡ x + 1   - 1 x

Passo 1

Já que temos um seno na expressão e o limite está tendendo a zero, vamos usar um artifício para podermos utilizar o limite fundamental trigonométrico.

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x x + 1   - 1 x . sen ⁡ x + 1   - 1 x x + 1   - 1 x

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x x + 1   - 1 x . 1

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x x + 1   - 1 x

Passo 2

Agora, já que sobrou cosseno, que é uma função limitada, multiplicado por uma outra função, vamos verificar se essa outra função está tendendo a zero. Se sim, podemos usar o Teorema do Anulamento.

lim x → 0 + ⁡ x + 1   - 1 x

lim x → 0 + ⁡ x + 1   - 1 x . ( x + 1   + 1 ) ( x + 1   + 1 )

lim x → 0 + ⁡ x + 1 - 1 x ( x + 1   + 1 )

lim x → 0 + ⁡ x x ( x + 1   + 1 )

lim x → 0 + ⁡ x x x + 1   + 1 . x x

lim x → 0 + ⁡ x x x x + 1   + 1

lim x → 0 + ⁡ x x + 1   + 1 = 0 1 + 1 = 0

Portanto, pelo Teorema do Anulamento

lim x → 0 + ⁡ cos ⁡ 1 x x + 1   - 1 x = 0

Resposta

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Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Suponha que, para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.