Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 5, Questão 15

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que não existe, justifique.

lim x 0 + cos 1 x sen x + 1   - 1 x

Passo 1

Já que temos um seno na expressão e o limite está tendendo a zero, vamos usar um artifício para podermos utilizar o limite fundamental trigonométrico.

lim x 0 + cos 1 x x + 1   - 1 x . sen x + 1   - 1 x x + 1   - 1 x

lim x 0 + cos 1 x x + 1   - 1 x . 1

lim x 0 + cos 1 x x + 1   - 1 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, já que sobrou cosseno, que é uma função limitada, multiplicado por uma outra função, vamos verificar se essa outra função está tendendo a zero. Se sim, podemos usar o Teorema do Anulamento.

lim x 0 + x + 1   - 1 x

lim x 0 + x + 1   - 1 x . ( x + 1   + 1 ) ( x + 1   + 1 )

lim x 0 + x + 1 - 1 x ( x + 1   + 1 )

lim x 0 + x x ( x + 1   + 1 )

lim x 0 + x x x + 1   + 1 . x x

lim x 0 + x x x x + 1   + 1

lim x 0 + x x + 1   + 1 = 0 1 + 1 = 0

Portanto, pelo Teorema do Anulamento

lim x 0 + cos 1 x x + 1   - 1 x = 0

Resposta

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