Calcule os limites abaixo. Justifique suas respostas.

d)

lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4

Passo 1

Se substituirmos o x → 0 cairemos numa indeterminação no argumento do seno, que explodirá para seno de + ∞ . Nessa situação podemos resolver de dois jeitos: o jeito garantido e o jeito que tira onda.

I ) Jeito garantido:

Eu sei que seno está definido entre ± 1 . Tendo isso, eu posso definir que o limite acima está entre isso, uma vez que o seno está indefinido dentro desse limite:

lim x → 0 ⁡ - x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4 ≤ lim x → 0 ⁡ + x 4 = 0

lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4 = 0

I I ) Jeito que tira onda:

Eu vou reescrever esse limite assim:

lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4 = lim x → 0 ⁡ sen ⁡ 1 x 4 1 x 4

Vou fazer uma substituição chamando de u o termo 1 / x 4 . Com isso vou mudar o limite também, saca aqui embaixo:

u = 1 x 4   ;     x → 0 ,     e n t ã o   u → 1 0 = + ∞

Agora vou reescrever:

lim u → + ∞ ⁡ sen ⁡ u u

Aí a partir desse você pode usar o teorema do Confronto da mesma forma que fizemos antes (o resultado será, ou pelo menos deveria ser, o mesmo)!

Resposta

lim x → 0 ⁡ x 4 sen ⁡ 1 x 4 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Se 2 x ≤ g x ≤ x 4 - x 2 + 2 para todo x , encontre lim x → 1 ⁡ g ( x )
Encontre lim x → ∞ ⁡ f ( x ) se, para todo x1 10 e x - 21 2 e xf x5 x x - 1
Sejam f e g duas funções definidas em R e tais que, para todo x , g x 4 + f x 4 = 4 . Calcule e justifique. lim x → 0 ⁡ x 3 g x lim x → 3 ⁡ f x x 2 - 9 3
Suponha que, para todo x , g x ≤ x 4 . Calcule lim x → 0 ⁡ g x x .
Seja f definida em R e tal que, para todo x , f x - 3 ≤ 2 x - 1 . Calcule lim x → 1 ⁡ f x e justifique.