Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

UNICAMP, Cálculo 1, Exame - 2017.2, Questão Q01b

Calcule os seguintes limites

(b) lim x 0 + x 2 sin 2 x

Passo 1

Sumir com a indeterminação

Toda vez que vemos uma função seno ou cosseno num limite, pra não termos problema com o que tem dentro dela, é bom a gente reescrever o limite a fim de sumir com a indeterminação, caso tenha. Bora lá então. Se:

2 x = u

Então:

x 2 = 16 u 4

E se x 0 + , então u +

Nosso limite ganha a seguinte cara:

lim x 0 + x 2 sin 2 x = lim u + 16 sin u u 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Resolver por Teorema do Confronto

Opa, agora que minha função seno ficou “normal”, vamos ver se o teorema do confronto nos diz algo sobre esse limite. Vamos lembrar que:

1 sin u - 1

Logo:

16 16 sin u - 16

4 u 4 4 sin u u 4 - 4 u 4

E aplicando o limite:

lim u + 16 u 4 lim u + 16 sin u u 4 lim u + - 16 u 4

0 lim u + 16 sin u u 4 0

Sendo assim, vamos ter:

lim u + 16 sin u u 4 = 0

Graficamente, podemos ver que realmente quando u + , a função 16 sin u u 4 tende à 0 e que ela está sempre entre as funções ± 16 u 4 .

Ou ainda, pra ficar mais bonito ainda, podemos ver que no gráfico do limite original realmente o limite é 0 .

lim x 0 + x 2 sin 2 x = 0

Resposta

lim x 0 + x 2 sin 2 x = 0

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