Exercícios Resolvidos de Teorema do Confronto

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2017.1, Questão Q04

Seja f ( x ) uma função satisfazendo a propriedade

4 x - 1 x f x 4 x 2 + 3 x + 4 x 2

para todo x>0. Calcule lim x   + f x

Passo 1

Reescrever a propriedade evidenciando a maior potência

Vamos ser sagazes e adiantar trabalho pro passo 2. Se reescrevermos as funções que delimitam f x dessa forma, nossas contas vão ficar mais fáceis depois. Saca só:

4 x - 1 x f x 4 x 2 + 3 x + 4 x 2

4 x x - 1 x f x 4 x 2 x 2 + 3 x x 2 + 4 x 2

4 - 1 x f x 4 + 3 x + 4 x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Realizar o teorema do sanduíche

Eu não a expressão de f x e ninguém nesse mundo sabe. Maaaaas, isso não quer dizer que a gente não consiga resolver a questão mesmo assim. A gente sabe que f x está espremida entre outras duas funções, com um presunto entre dois pães de forma. E é exatamente por isso que podemos usar o teorema do sanduíche aqui:

4 - 1 x f x 4 + 3 x + 4 x 2

lim x   + 4 - 1 x lim x   + f x lim x   + 4 + 3 x + 4 x 2

4 lim x   + f x 4

Viu, o passo 1 não foi útil? Os termos cortados todos tendem à 0 , sobrando só o 4 dos dois lados. Se o limite que a gente quer está entre 4 e 4 , oras, o valor dele é 4 mesmo.

OBS: Desculpa se te dei fome falando de sanduíche, mas é o nome do teorema hahaha

Resposta

lim x   + f x = 4

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