(Capítulo 14.7 – Exercício 49) Determine as dimensões de uma caixa retangular de volume máximo tal que a soma dos comprimentos de suas 12 arestas seja uma constante c.

Passo 1

Faaaala galera, vamos lá pra mais um exercício de maximização

Vamos começar chamando as dimensões da caixa de x , y , z . Assim, temos 4 arestas em cada dimensão, e como queremos que a soma seja uma constante c , teremos:

4 x + 4 y + 4 z = c

z = 1 4 c - x - y

Belezinha, mas a função que queremos maximizar é a função que nos dá o volume da caixa, então:

V = x y z

Substituindo o z que encontramos ali em cima:

V = x y 1 4 c - x - y

V = 1 4 c x y - x 2 y - x y 2 ,   x > 0 e y > 0

Showww, então agora é só a gente encontrar o ponto de máximo dessa função, e faremos isso encontrando os pontos críticos, fechou? Boraaa

Passo 2

As derivadas parciais da função são:

V x = 1 4 c y - 2 x y - y ²

V y = 1 4 c x - x 2 - 2 x y

Para encontrarmos o ponto crítico, precisamos fazer V x = V y = 0

Fazendo V y = 0 :

1 4 c x - x 2 - 2 x y = 0

c 4 - x - 2 y = 0

x + 2 y = c 4

Fazendo V x = 0 :

1 4 c y - 2 x y - y 2 = 0

1 4 c - 2 x - y = 0

2 x + y = c 4

A partir das duas equações acima, temos x = 1 12 c e y = 1 12 c .

Assim, z = 1 4 c - 1 12 c - 1 12 c = 1 12 c .

Com isso, o volume será máximo quando a caixa retangular for um cubo de aresta 1 12 c , fechouuu?

Resposta

O volume será máximo quando a caixa retangular for um cubo de aresta 1 12 c .

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