Encontre e classifique todos os pontos críticos da função.

f x , y = 7 x - 8 y + 2 x y - x 2 + y 3

estabelecendo se são pontos de sela, pontos de mínimo local ou absoluto, pontos de máximo local ou absoluto. Justifique todos os detalhes!

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão, foi dada uma função f e foi pedido para que calculássemos os pontos críticos dessa função e também temos que classificar esses pontos como sendo pontos de sela, máximos ou mínimos locais ou absolutos.

Entendeu? Então como podemos fazer isso?? 🤔🤔

Os pontos críticos de uma função, são obtidos derivando f em relação a x e depois a y e igualando a 0 . A combinação dos valores que vamos obter para a solução dessas derivadas, vão ser os pontos críticos de f .

A partir daí temos que analisar se esses pontos críticos são pontos de sela, de máximos ou de mínimos e para isso, temos que fazer algumas analises a mais.

Mas calma aí! Vamos por partes!

Bora encontrar os pontos críticos!

Passo 2

Primeiramente, vamos derivar f com relação a x

f x = ∂ 7 x - 8 y + 2 x y - x 2 + y 3 ∂ x

Quando derivamos com relação a x , a variável y se comporta como uma constante e sabemos que a derivada de uma constante é igual a 0 .

Pelo método de derivação polinomial, temos

f x = 7 x 1 - 1 - 0 8 y + 2 x 1 - 1 y - 2 x 2 - 1 + 0 y 3

f x = 7 + 2 y - 2 x

Agora faremos o mesmo para obter a derivada de f com relação a y

f y = ∂ 7 x - 8 y + 2 x y - x 2 + y 3 ∂ y

Agora é a vez do x se comportar como uma constante.

Pelo método de derivação polinomial, temos

f y = 0 7 x - 8 y 1 - 1 + 2 x y 1 - 1 - 0 x 2 + 3 y 3 - 1

f y = - 8 + 2 x + 3 y 2

Igualando f x e f y a 0 , vamos obter um sistema de equações

7 + 2 y - 2 x = 0 - 8 + 2 x + 3 y 2 = 0

Organizando um pouquinho mais

2 x - 2 y = 7 2 x + 3 y 2 = 8

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Se a gente isolar x na primeira equação, vamos obter

x = y + 7 2

Substituindo na segunda equação, tiramos que

2 y + 7 2 + 3 y 2 = 8

2 y + 7 + 3 y 2 = 8

Organizando um pouquinho, chegamos em

3 y 2 + 2 y - 1 = 0

Vamos calcular as raízes dessa equação por Bhaskara.

- 2 ± 2 2 - 4 · 3 · - 1 2 3 = y 1 = 1 3 y 2 = - 1

Substituindo y 1 na primeira equação, temos

2 x - 2 1 3 = 7

2 x = 23 3

x = 23 6

Com isso, obtemos nosso primeiro ponto 23 6 , 1 3

Agora substituindo y 2 na primeira equação, temos

2 x - 2 - 1 = 7

2 x = 5

x = 5 2

Assim, obtemos outro ponto 5 2 , - 1

Esses dois pontos que acabamos de encontrar, são os pontos críticos que vamos chamar de P 1 e P 2 .

P 1 = 23 6 , 1 3 P 2 = 5 2 , - 1

Está acompanhando? 😁

Passo 4

Agora, queremos saber se os pontos que encontramos são pontos de máximo, de mínimo ou ponto de sela.

Pra isso, temos que calcular as segundas derivadas de f derivando f x e f y com relação a x e y .

Calculando f x x , temos

f x x = ∂ 7 + 2 y - 2 x ∂ x

Pelo método de derivação polinomial

f x x = - 2 x 1 - 1 = - 2

Para f x y

f x y = ∂ 7 + 2 y - 2 x ∂ y

Pelo mesmo método de derivação

f x y = 2 y 1 - 1 = 2

Agora vamos obter f y x

f y x = ∂ - 8 + 2 x + 3 y 2 ∂ x

Novamente pelo mesmo método de derivação

f y x = 2 x 1 - 1 = 2

E por último, vamos obter f y y

f y y = ∂ - 8 + 2 x + 3 y 2 ∂ y

f y y = 3 2 y 2 - 1 = 6 y

Montando uma matriz determinante com esses termos que acabamos de obter

D = f x x f x y f y x f y y = - 2 2 2 6 y

Bacana, não é?

Passo 5

Vamos usar D para definir se P 1 e P 2 são pontos máximos ou pontos mínimos.

Substituindo as coordenadas dos pontos em D e encontrarmos que D > 0 e f x x > 0 o ponto é classificado como ponto de mínimo.

Já de após as substituições D > 0 e f x x < 0 , o ponto é classificado como máximo.

Mas se D < 0 , o ponto é classificado como ponto sela.

Primeiro vamos analisar o ponto P 1

D P 1 = - 2 2 2 6 1 3 = - 2 · 2 - 2 · 2 = - 8

D < 0 , logo o ponto P 1 é classificado como um ponto sela!

Agora vamos analisar o ponto P 2

D P 2 = - 2 2 2 6 - 1 = - 2 · - 6 - 2 · 2 = 8

D > 0 e f x x < 0 , logo, o ponto P 2   é classificado como um ponto máximo!

Mas será que é um ponto máximo local ou é um máximo global? 🤔

Pra responder essa pergunta, vamos analisar a imagem de f x , y = 7 x - 8 y + 2 x y - x 2 + y 3 .

Por ser uma função polinomial, a imagem de f é definida de - ∞ a . Se calculássemos o valor de f no ponto P 2 , vamos obter

f 5 2 , - 1 = 7 5 2 - 8 - 1 + 2 5 2 - 1 - 5 2 2 + - 1 3

f 5 2 , - 1 = 53 4

Existem pontos em f em que a imagem é maior que 53 / 4 , logo P 2   é um ponto de máximo local.

Vamos dar uma olhada no gráfico de f pra exemplificar o que acabamos de calcular?

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

P 1 23 6 , 1 3 ponto sela

P 2 5 2 , - 1 ponto de máximo

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