Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

PUC-RJ, Cálculo a Várias Variáveis I, P3 2016.1, questão 1

Seja

D =   x , y ∈ R 2   x - 1 2 + y - 1 2 < 1   }  

Seja f   : D → R uma função definida em D , onde

f x , y = x 4 + y 4 - 4 x y + 10

Com x , y ∈ D

  1. Classifique os pontos críticos de f quanto a máximo local, mínimo local ou sela.
  2. Determine um aberto não vazio A do plano (caso exista), tal que f restrita à A seja estritamente convexa (note que A ⊂ D ). Depois desenhe A .

Passo 1

a )

Para classificar os pontos críticos, vamos usar o teste da derivada segunda.

Calculando o gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

⇒ ∇ f x , y = 4 x 3 - 4 y , 4 y 3 - 4 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrando os pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ 4 x 3 - 4 y , 4 y 3 - 4 x = 0,0

Igualando as coordenadas:

4 x 3 - 4 y = 0   4 y 3 - 4 x = 0

Da primeira equação, temos

y = x ³

Substituindo na segunda equação,

4 ( x 3 ) 3 - 4 x = 0

4 x 9 - 4 x = 0

x 9 - x = 0

x x 8 - 1 = 0

x = 0

Ou

x = ± 1

Assim,

y = 0

Ou

y = ± 1

Temos os pontos

0,0

1,1

( - 1 , - 1 )

Porém, segundo o enunciado, ( x , y ) deve pertencer a D . Mas ( 0,0 ) e ( - 1 , - 1 ) não pertencem a D . De modo que nosso único ponto crítico de f em D é

P 0 = ( 1,1 )

Passo 3

Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:

P 0 = 1 , 1

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 4 x 3 - 4 y = 3.4 . x 2 = 12 x ²

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 y 3 - 4 x = 4.3 y 2 = 12 y ²

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 y 3 - 4 x = - 4

Calculando essas derivadas no ponto P 0 = 1 , 1 :

f x x P 0 = 12 . 1 2 = 12

f y y P 0 = 12 . 1 2 = 12

f x y P 0 = - 4

Passo 4

Calculando H P 0 :

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

⇒ H P 0 = 12 - 4 - 4 1 2

⇒ H P 0 = 12 12 - - 4 - 4

⇒ H P 0 = 144 - 16

⇒ H P 0 = 12 8

Como f x x P 0 = 1 2 > 0 e H P 0 = 128 > 0 , temos que P 0 = ( 1,1 ) é ponto de mínimo local de f em D .

Passo 5

b )

Para f ser estritamente convexa, isto é para que f tenha apenas pontos de mínimo, é preciso que

H x , y = f x x x , y f y y x , y - f x y x , y f y x x , y > 0

H x , y = 12 x 2 . 12 y 2 - - 4 - 4 > 0

H x , y = 1 44 x 2 y 2 - 16 > 0

E que

f x x x , y = 12 x 2 > 0

Para x , y ∈ D .

Passo 6

f x x x , y = 12 x 2 > 0

É sempre verdadeiro.

Assim

144 x 2 y 2 - 16 > 0 ⟷ x 2 y 2 > 1 9 ⟷ x y > 1 3

y > 1 3 x

Para x , y ∈ D .

Dessa forma,

A =   x , y ∈ R 2   x - 1 2 + y - 1 2 < 1   ,   y > 1 3 x }  

Passo 7

Para esboçar o conjunto A , primeiro esboçamos o circulo

x - 1 2 + y - 1 2 = 1

E a função

  y = 1 3 x

Como nossa região A corresponde a área acima de   y = 1 3 x e abaixo de x - 1 2 + y - 1 2 = 1 , temos que A é

Resposta

  1. P 0 = ( 1,1 ) é ponto de mínimo local de f em D .
  2. A =   x , y ∈ R 2   x - 1 2 + y - 1 2 < 1   ,   y > 1 3 x }  

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