Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

USP, Cálculo 2, P-SUB - 2016, Questão 3a

Determine e classifique os pontos críticos da função f   : R 2 R dada por

f x , y = x 3 - 2 x y - y 3 + 6

Passo 1

Bora calcular as derivadas parciais para identificar os pontos críticos

f x , y = x 3 - 2 x y - y 3 + 6

Então

f x = 3 x 2 - 2 y

f y = - 3 y 2 - 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas parciais a zero

f x = 3 x 2 - 2 y = 0

f y = - 3 y 2 - 2 x = 0

Passo 3

Ficamos com o sistema:

3 x 2 - 2 y = 0   - 3 y 2 - 2 x = 0

Isolando y na primeira equação:

y = 3 x 2 2

E substituindo na segunda equação:

- 3 3 x 2 2 2 - 2 x = 0

- 27 x 4 4 - 2 x = 0

Colocando x em evidencia:

x - 27 x 3 4 - 2 = 0

x = 0

Ou

x = - 8 27 3 = - 2 3

Agora só falta achar os valores de y para saber quem são nossos pontos críticos.

y = 3 x 2 2

Então

y = 3 . 0 ² 2 = 0

Ou

y = 3 . - 2 3 2 2 = 2 3

Assim, nossos dois pontos críticos são:

P 1 = ( 0,0 )

P 2 = - 2 3 , 2 3

Passo 4

Vamos classificar esses pontos críticos.

Para isso, vamos calcular derivadas segundas para podermos usar o teste da derivada segunda:

f x x = x f x = x 3 x 2 - 2 y = 6 x

f y y = y f y = y - 3 y 2 - 2 x = - 6 y

f y x = x f y = x - 3 y 2 - 2 x = - 2

f x y = y f x = x 3 x 2 - 2 y = - 2

Passo 5

Calculando H P :

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P

H P = 6 x - 2 - 2 - 6 y

H P = 6 x - 6 y - - 2 - 2

H P = - 36 x y - 4

Passo 6

Agora vamos substituir cada um dos nossos pontos críticos nesse H ( P ) que acabamos de calcular, para um P genérico.

Começando por P 1 = ( 0,0 ) :

H P 1 = - 36 . 0.0 - 4 = - 4 < 0

Portanto, P 1 = ( 0.0 ) é ponto de sela.

Agora vamos para P 2 = - 2 3 , 2 3 :

H P 2 = - 36 . - 2 3 . 2 3 - 4 = 12 > 0

Como H P 2 > 0 e

f x x P 2 = 6 - 2 3 = - 4 < 0

Então, P 2 = - 2 3 , 2 3 ´´e ponto de máximo local.

Resposta

P 1 = ( 0.0 ) é ponto de sela e P 2 = - 2 3 , 2 3 ´´e ponto de máximo local.

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