Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Passo 1

“Encontrar máximo e mínimo”: já sabemos que a primeira coisa a se fazer é encontrar os pontos críticos.

Assim, achando as derivadas:

f x = 2 x + 2 y - 1

f y = 4 y + 2 x + 2

Igualando a zero:

2 x + 2 y - 1 = 0

4 y + 2 x + 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Isolando o x na primeira equação:

x = - 2 y + 1 2

E substituindo na segunda:

4 y + 2 - 2 y + 1 2 + 2 = 0

4 y - 2 y + 1 + 2 = 0

2 y = - 3

y = - 3 2

Assim

x = - 2 y + 1 2 = - 2 - 3 2 + 1 2 = 2

O ponto crítico é

P 0 = 2 ,   - 3 2

Passo 3

Agora vamos classificar esse ponto crítico.

Calculando as derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 x + 2 y - 1 = 2

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 y + 2 x + 2 = 4

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 y + 2 x + 2 = 2

Como são constantes, se substituirmos elas no ponto crítico, teremos a mesmas constantes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante:

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P = 2 2 2 4 = 2.4 - 2.2 = 4

Como H P 0 > 0 e f x x P 0 = 2 > 0 , o ponto 2 ,   - 3 2 é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Agora entramos com o enunciado.

De acordo com o que ele disse, para funções tipo a nossa, é possível provar que se um ponto é extremante local, então também é global.

Assim, nosso ponto de mínimo local P 0 = 2 ,   - 3 2 é também um ponto de mínimo global.

Resposta

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