Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Máximos e Mínimos

Em relação aos pontos críticos P 1 = ( 2 , - 6 ) e P 2 = ( - 2,6 ) da função f x , y = x 2 y + 2 x 3 - 4 y , pode se dizer que:

(a) P 1 e P 2 são pontos de sela

(b) P 1 é ponto de máximo local e P 2 é ponto de mínimo local

(c) P 1 é ponto de sela e P 2 é ponto de mínimo local

(d) P 1 é ponto de sela e P 2 é ponto de máximo local

(e) nenhum dos outros itens

Passo 1

Essa questão é tipo aquelas “determine e classifique os pontos críticos de f ”, só que ela já deu os pontos críticos, então só precisamos classificá-los!

Vamos ter que achar as derivadas de segunda ordem de f e mandar ver no teste da derivada segunda! Então partiu:

f x , y = x 2 y + 2 x 3 - 4 y

As derivadas parciais são:

f x x , y = 2 x y + 2.3 x 2 - 0 = 2 x y + 6 x ²

f y x , y = x 2 + 0 - 4 = x 2 - 4

Então pras derivadas segundas temos

f x x x , y = 2 y + 6.2 x = 2 y + 12 x

f y y x , y = 0 - 0 = 0

f x y x , y = f y x x , y = 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Excelente! Agora vamos aplicar o teste da derivada segunda:

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y = 2 y + 12 x 2 x 2 x 0

⇒ H x , y = 2 y + 12 x . 0 - ( 2 x . 2 x ) = - 4 x 2

Já podemos notar que qualquer ponto crítico x , y de f é ponto de sela pois H x , y = - 4 x 2 < 0 .

Maas, também não custa nada verificar que P 1 e P 2 são pontos de sela. Até porque na hora da prova dá vontade de verificar tudo que der, né?

H P 1 = H 2 , - 6 = - 4.2 2 = - 4.4 = - 16 < 0

H P 2 = H - 2,6 = - 4 . - 2 2 = - 4.4 = - 16 < 0

Show! P 1 e P 2 são mesmo pontos de sela!

Resposta

Alternativa (a)

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