Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Seja f   : R 2 → R uma função com derivadas de segunda ordem contínuas tal que f x 1,1 = f y 1,1 = 0 . Suponha que ( 1,1 ) seja um ponto de sela de f , que f x x 1,1 = 2 e f y y 1,1 = 4 e que f x y 1,1 > 0 ; Qual das afirmativas abaixo é verdadeira?

  1. f x y 1,1 > 8
  2. f x y 1,1 < 8
  3. f x y 1,1 = f y x 1,1 = 8
  4. f x y 1,1 = f y x 1,1 = 2
  5. Nenhuma das demais alternativas.

Passo 1

Bem, mais uma vez tá falando de ponto crítico, então mais uma vez, vamos usar o teste da derivada segunda.

Mas, dessa vez, já sabemos que o ponto ( 1,1 ) é um ponto de sela, então,

H 1,1 < 0

H 1,1 = f x x 1,1 f y y 1,1 - f x y 1,1 f y x 1,1 < 0

Passo 2

Substituindo os dados que o problema deu pra gente:

H 1,1 = 2.4 - f x y 2 1,1 < 0

Entendeu o que que eu fiz aí?

Eu coloquei a derivada parcial mista ao quadrado, porque o enunciado diz que as derivadas de segunda ordem são contínuas, daí issi significa que as derivadas parciais mistas são iguais, beleza?

Passo 3

Voltando então:

H 1,1 = 8 - f x y 2 1,1 < 0

f x y 2 1,1 > 8

f x y ( 1,1 ) > 8

Resposta

Letra a

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