Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Considere as seguintes afirmações:

  1. Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável que possui um único ponto crítico. Se este ponto crítico é um entremante local de f , então é extremante global de f .
  2. Considere as α t = ( t , 0 , t 2 ) e β t = 0 , t , - t 2 ,   t ∈ R . Se as imagens de α e β estão contidas no gráfico de f   : R 2 → R e ( 0,0 ) é um ponto crítico de f , então ( 0,0 ) é um ponto de sela de f .
  3. Se A é um subconjunto não vazio e limitado de R 2 e f   : A → R é contínua, então f é limitada em A .

Assinale a alternativa correta:

  1. Somente a afirmação I é verdadeira
  2. Somente a afirmação II é verdadeira
  3. Somente a afirmação III é verdadeira
  4. Somente as afirmações I e II são verdadeiras
  5. Somente as afirmações II e III são verdadeiras

Passo 1

Vamos analisar as afirmativas.

“Seja f   : R 2 → R uma função diferenciável que possui um único ponto crítico. Se este ponto crítico é um entremante local de f , então é extremante global de f .”

A função

f x , y = x 2 + 5 y 2 1 + x 3

Possui apenas um ponto crítico, o ponto ( 0,0 ) que é um ponto de mínimo local, porém não é um ponto de mínimo global.

Logo, este é um contra exemplo que mostra que nossa afirmativa é falsa.

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Passo 2

“Considere as α t = ( t , 0 , t 2 ) e β t = 0 , t , - t 2 ,   t ∈ R . Se as imagens de α e β estão contidas no gráfico de f   : R 2 → R e ( 0,0 ) é um ponto crítico de f , então ( 0,0 ) é um ponto de sela de f .”

Se as imagens das curvas estão contidas no gráfico de f significa que

f x t , y t = z ( t )

Assim, para a curva α ( t ) temos

f t , 0 = t 2

E para a curva β ( t ) temos

f 0 , t = - t 2

Se você reparar, essas duas curvas nada mais são do que duas formas (ou caminhos) diferentes de nos aproximarmos do pontos ( 0,0 ) .

Se a gente se aproxima pela curva α ( t ) significa que a gente ta se aproximando da origem pelo eixo x e nesse caso, f é uma parábola virada para cima e assim, ( 0,0 ) é um ponto de mínimo.

Agora, se a gente se aproxima da origem pela curva β ( t ) , significa que a gente ta se aproximando pelo eixo y e nesse caso, f é uma parábola virada para baixo e assim, ( 0,0 ) é um ponto de máximo.

Opa, mas se por um caminho ( 0,0 ) é ponto de mínimo e por outro caminho é ponto de máximo, então na real ele não é uma coisa nem outra né.. ele é ponto de sela.

Afirmativa parece louca, mas no final é verdadeira.

Passo 3

“Se A é um subconjunto não vazio e limitado de R 2 e f   : A → R é contínua, então f é limitada em A .”

Vamos pensar num conjunro limitado (que é aquele que tá totalmente contido dentro de uma ‘bola’ centrada na origem).

A = x , y ∈ R 2   : x 2 + y 2 < 1

Ele está totalmente contido dentro da circunferência de raio, sei lá, 4, centrada na origem, então, é limitado.

E também é não vazio.

Agora vamos pensar numa função definida nesse conjunto, por exemplo,

f x , y = 1 x 2 + y 2 - 1

Essa função é composta por função polinomial, logo é contínua em seu domínio, que é justamente o conjunto A .

Mas ela não é limitada em A , ou seja, ela se extende para além do conjunto A . A imagem dela é formada por números que estão fora do conjunto A , no bom e velho português.

Logo, essa afirmativa é falsa.

Resposta

l e t r a   b

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