Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Cálculo 2 CEFET-RJ, P1 2014.2 Prof. Péricles Aguiar, questão 3

Um fio de arame com L   c m   de comprimento será cortado em 3 pedaços. Um deles será encurvado na forma de uma circunferêcia, outro na forma de um quadrado, e o terceiro na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio para que a área combinada das três figuras seja a maior possível?

Passo 1

Certo, vamos simplificar o problema. Temos uma função L , que é o comprimento do fio e outra Área Total, que queremos encontrar o ponto extremo dela. Então, vamos lá! Comecemos encontrando a função L :

L = x + y + z

Em que x , y e z são os tamanhos os quais o fio foi cortado. Isso significa que, na verdade, x , y e z são os perímetros das figuras!

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Passo 2

Agora, o que acha de definirmos a função A t o t ?

A t o t = A c + A q + A t

Em que A t o t é a área total, A c é a área do círculo, A q é a área do quadrado e A t é a area do triângulo.

Passo 3

Então, chegou a hora de definir quais são as áreas e comprimentos que formam a área e o perímetro totais:

  x = 2 π R R = x 2 π A c = π R 2 = x 2 4 π

Em que R é o raio da circunferência

E x é o perímetro do círculo

y = 4 l l = y 4 A q = l 2 = y 2 16

Em que l é o lado do quadrado

E y é o perímetro do quadrado

z = 3 s s = z 3 A t = s 2 3 4 = z 2 3 36

Em que s é o lado do triângulo

E z é o perímetro do triângulo

Lembrando que x , y e z são os tamanhos em que o fio foi cortado (ou seja, os perímetros das figuras)!

Passo 4

Pronto!! Agora que você já aguentou até aqui, segura mais um pouco que chegou a parte fácil!

Encontramos as áreas em função de x , y e z , certo? Então vamos reescrever a função Área Total:

A t o t = A c + A q + A t

A t o t = x 2 4 π + y 2 16 + z 2 3 36

Aqui vem uma pequena modificação na função. Sabemos que x , y e z são os tamanhos dos cortes no fio. Então:

L = x + y + z

Assim, podemos isolar uma das variáveis. Vamos isolar o z

z = L - x - y

E, finalmente, substituimos esse valor de z na equação

A t o t = x 2 4 π + y 2 16 + z 2 3 36

A t o t = x 2 4 π + y 2 16 + ( L - x - y ) 2 3 36

Ótimo, temos a função Area Total exatamente como era pra ser :) Ela está agora em função de apenas duas variáveis.

Passo 5

Para encontrar o pontos críticos de A t o t vamos começar encontrando suas primeira e segundas derivadas parciais:

A t o t = x 2 4 π + y 2 16 + ( L - x - y ) 2 3 36

Derivando em relação a x e igualando a derivada a 0...

δ A t o t δ x = x 2 π - 3 L - x - y 18 = 0

Derivando em relação a y e igualando a derivada a 0...

δ A t o t δ y = y 8 - 3 L - x - y 18 = 0

OBS: Estamos igualando a Derivada a 0 porque temos que encontrar os pontos críticos!

Derivando δ A t o t δ x em relação a x ...

A t o t x x = 1 2 π + 3 18 > 0

Derivando δ A t o t δ y em relação a y ...

A t o t y y = 1 8 + 3 18 > 0

E, por último, derivamos uma das primeira derivadas em relação a outra:

A t o t x y = A t o t y x = 3 18

Passo 6

Tendo as derivadas parciais, vamos fazer o teste da segunda derivada:

A t o t x x A t o t x y A t o t y x A t o t y y = 1 2 π + 3 18 . 1 8 + 3 18 - 3 18   .   3 18 > 0

E o importante não é o resultado, mas sim, sabermos de ele é maior, menor ou igual a 0 . Este, é maior que 0 ! Isso significa, que, para qualquer x e qualquer y , teremos um ponto de mínimo!

Passo 7

A partir das equações das primeiras derivadas, temos:

x 2 π - 3 L - x - y 18 = 0 x 2 π = 3 L - x - y 18

y 8 - 3 L - x - y 18 = 0 y 8 = 3 L - x - y 18

Então,

x 2 π = y 8

logo,

x = π y 4

Passo 8

Legal, encontramos uma relação entre x e y . Com ela, basta que substituamos esse valor de x em função de y em uma das equações da primeira derivada.

x 2 π = 3 L - x - y 18

Como x = π y 4 ...

π y 8 π = 3 18 L - π y 4 - y

Isolando o y ...

y 8 = 3 L 18 - 3 π y 72 - 3 y 18

y 8 = 3 L 18 - y 3 π 72 + 3 18

y 8 + y 3 π 72 + 3 18 = 3 L 18

y 3 π 72 + 3 18 + 1 8 = 3 L 18

y = 3 L 18 3 π 72 + 3 + 18 8

Passo 9

Finalmente!! Conseguimos o tamanho de um dos cortes em função do comprimento total L ! Agora, vamos encontrar o outro com a nossa relação entre x e y :

x = π y 4

Então...

x = π 3 L 4 18 3 π 72 + 3 + 18 8

E agora, só falta o perímetro do triângulo, z :

z = L - x - y

z = L - π 3 L 4 18 3 π 72 + 3 + 18 8 - 3 L 18 3 π 72 + 3 + 18 8

Resposta

As expressões para os três cortes podem ser dadas em função do comprimento total L por:

Círculo: x = π 3 L 4 18 3 π 72 + 3 + 18 8

Quadrado: y = 3 L 18 3 π 72 + 3 + 18 8

Triângulo: z = L - π 3 L 4 18 3 π 72 + 3 + 18 8 - 3 L 18 3 π 72 + 3 + 18 8

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