Encontre e classifique os pontos críticos de

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para calcularmos os pontos críticos da nossa função, temos que começar calculando as derivadas parciais.

f x , y = x 3 - 12 x y + 8 y ³

d x = 3 x 2 - 12 y

d y = - 12 x + 24 y ²

Lembrando que elas precisam valer zero, então montando o nosso sistema:

d f d x x , y = 3 x 2 - 12 y = 0 d f d y x , y = - 12 x + 24 y 2 = 0

Se a gente pegar a segunda equação, podemos fazer a relação:

24 y 2 = 12 x

2 y 2 = x

Substituindo na primeira:

3 ( 4 y 4 ) - 12 y = 0

12 y 4 - 12 y = 0

12 y ( y 3 - 1 ) = 0

y = 0   o u   y = 1

Beleza, mas lembra que vimos a relação

x = 2 y ²

Se substituirmos cada valor de y , vamos achar 1 ponto diferente. Para y = 0

x = 2.0 2 = 0

Para y = 1

x = 2.1 2 = 2

Logo temos os pontos 0,0   e   ( 2,1 )

Passo 2

Show, já temos os nossos pontos críticos. Agora vamos classificar eles. Para isso, temos que montar a matriz hessiana:

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Com isso, vamos calcular o determinante dessa matriz:

H P 0 = f x x P 0 f y y P 0 - f y x P 0 f x y P 0

Beleza, mas nós ainda precisamos achar as derivadas parciais de segunda ordem, então vamos lá:

f x = 3 x 2 - 12 y

f y = - 12 x + 24 y ²

Derivando:

f x x = 6 x

f x y = - 12

f y y = 48 y

f y x = - 12

Show, para deixar nossa fórmula mais simples, vamos substituir as derivadas parciais nela:

H P 0 = f x x P 0 f y y P 0 - f y x P 0 f x y P 0

H P 0 = ( 6 x ) ( 48 y ) - ( - 12 ) ( - 12 )

H P 0 = 288 x y - 144

Agora podemos substituir os pontos críticos que achamos e determinar se é máximo, mínimo ou ponto de cela.

Passo 3

Vamos lá, primeiro, iremos juntar aqui todas as informações que já temos:

H P 0 = 288 x y - 144

f x x = 6 x

Nos pontos:

P 1 = ( 0,0 )

P 2 = ( 2,1 )

Vamos começar pelo 0,0 .

H 0,0 = 288 0 0 - 144 = - 144

Opa, reparem que H 0,0 < 0 , logo, temos aqui um ponto de cela.

Agora vamos para o ( 2,1 )

H 2,1 = 288 2 1 - 14 = 432

Ok, vimos que H 2,1 > 0 , logo temos aqui ou um ponto mínimo ou máximo. Para determinamos isso, precisamos ver o valor de f x x ( 2,1 ) :

f x x 2,1 = 6 2 = 12

Opa, temos aqui que f x x 2,1 > 0 , logo é um ponto de mínimo.

Resposta

P 1 = 0,0 → P o n t o   d e   C e l a

P 2 = 2,1 → P o n t o   d e   M í n i m o

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