Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

( I ) Seja

A =   x , y ∈ R 2   x > 0   }  

Seja

f x , y = x y 2 2 - x 2 y 2 - x 3 6 - y 3 6 + 3 x + y

Com x , y ∈ A

  1. Encontre todos os pontos críticos de f em A .
  2. • Encontre um aberto n   B ⊂ A , tal que f restrita à A seja estritamente côncava.

    • Exiba um ponto x 0 , y 0 ∈ B

    • Esboce B .

  3. Exiba os pontos críticos de f em A que são pontos de máximo local, justificando sua resposta.

( I I ) Seja

F x , y , z = x y 2 2 - x 2 y 2 - x 3 6 - y 3 6 + z 4 12 - z 2 2

  1. Encontre funções h 1 ( x , y , z ) , h 2 ( x , y , z ) e h 3 ( x , y , z ) tais que a função F ( x , y , z ) restrita ao aberto

C = x , y , z ∈ R 3 h 1 x , y , z > 0 ,   h 2 x , y , z > 0 ,   h 3 x , y , z > 0 }  

Seja estritamente côncava. Exiba um ponto x 1 , x 2 , x 3 ∈ C .

(Dica: use os calculos do item I )

Passo 1

Muita calma nessa hora. Essa questão tá pedindo um monte de coisas.

Vamos devagar.

L e t r a   a ,   i t e m   I

A primeira coisa que queremos é encontrar os pontos críticos de f em A .

Os pontos críticos são aqueles em que as derivadas parciais são nulas. Assim

f x = y 2 2 - x y - x 2 2 + 3 = 0

f y = x y - x 2 2 - y 2 2 + 1 = 0

Passo 2

Somando as duas equações:

y 2 2 - x y - x 2 2 + 3 + x y - x 2 2 - y 2 2 + 1 = 0

- 2 x 2 2 + 4 = 0

x = ± 2

Mas, como os pontos críticos devem estar dentro de A , então o x > 0 , assim

x = 2

Substituindo isso na segunda equação:

2 y - 2 2 2 - y 2 2 + 1 = 0

- y 2 2 + 2 y - 1 = 0

y = - 2 ± 2 2 - 4 - 1 2 - 1 2 - 1 2

y = - 2 ± 4 - 2 - 1

y = 2 ± 2

E não temos nenhuma restrição em relação a y no conjunto A .

Logo, os pontos críticos são:

P 1 = 2,2 + 2  

P 2 = 2,2 - 2  

Passo 3

L e t r a   b ,   i t e m   I

Para f ser estritamente côncava, isto é para que f tenha apenas pontos de máximo, é preciso que

H x , y = f x x x , y f y y x , y - f x y x , y f y x x , y > 0

E que

f x x x , y < 0

Para x , y ∈ A .

Ou seja, o determinante da matriz hessiana (do teste da derivada segunda) tem que ser maior que zero e a derivada segunda em relação a x tem que ser menor que zero.

Portanto, temos que calcular as derivadas segundas.

Passo 4

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y 2 2 - x y - x 2 2 + 3 = - y - x

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x y - x 2 2 - y 2 2 + 1 = x - y

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x x y - x 2 2 - y 2 2 + 1 = y - x

Passo 5

Substituindo nas condições do passo 3:

H x , y = - y - x x - y - ( y - x ) ( y - x ) > 0

H x , y = - x y + y 2 - x 2 + x y - ( y 2 - x y - x y + x 2 ) > 0

H x , y = - 2 x 2 + 2 x y > 0

H x , y = 2 x ( - x + y ) > 0

x < y

E

f x x x , y = - y - x > 0

- x < y

A interseção dessas duas inequações é

x < y

Pois se y é maior que x , ele também é maior que – x .

E, como x , y ∈ A , então x > 0 .

Assim, nosso conjunto B pode ser definido como

B =   x , y ∈ R 2   x > 0     e   x < y }  

Passo 6

Agora precisamos de um ponto que pertença a esse conjunto B .

Ora, achamos dois pontos na letra a . Vamos ver se algum deles está no conjunto B ?

Os pontos que achamos foram

P 1 = 2,2 + 2  

P 2 = 2,2 - 2  

E, se você observar, P 1 está, de fato, dentro do conjunto B , pois

x = 2 > 0

y = 2 + 2 > x = 2

Passo 7

Agora precisamos esboçar o conjunto

B =   x , y ∈ R 2   x > 0     e   x < y }  

Para isso, basta desenharmos as retas

x = 0

y = x

E tracejarmos elas (já que B não inclui a fronteira pois não temos sinais de igual). O conjunto B será a região entre essas duas retas.

Passo 8

L e t r a   c ,   i t e m   I

Queremos saber um ponto crítico de f em A que seja ponto de máximo local.

Bom, na letra a a gente calculou os dois pontos críticos de f em A , mas não classificamos eles, então não sabemos se algum deles é ponto de máximo local.

Maaas, na letra b , a gente definiu um conjunto B tal que todos os pontos que pertencem a esse conjunto são pontos que fazem com que f seja estritamente côncava, ou seja, são pontos de máximo locais.

E, isso mesmo, no passo 6 a gente viu que P 1 ∈ B , logo, P 1 é um ponto de máximo local.

P 1 = 2,2 + 2  

Passo 9

L e t r a   a ,   i t e m   I I

O item I I falou de forma mais confusa, mas no fundo, o que ele quer é que a gente encontre um conjunto C para que a função F seja estritamente côncava. Ou seja, mesma coisa que fizemos no item I , mas agora nossa função tem 3 variáveis e é um pouquinho diferente da função do item I .

Mas é só um pouquinho mesmo, olha só:

f x , y = x y 2 2 - x 2 y 2 - x 3 6 - y 3 6 + 3 x + y

F x , y , z = x y 2 2 - x 2 y 2 - x 3 6 - y 3 6 + z 4 12 - z 2 2

Basicamente, só trocamos as duas ultimas parcelas de f po parcelas que envolvam a variável z .

Enfim, de todo modo, vamos seguir o mesmo procedimento da letra b do item I , o que significa que nossas condições para C ser estritamente côncavo são:

H P 0 = F x x P 0 F x y P 0 F x z P 0 F y x P 0 F y y P 0 F y z P 0 F z x P 0 F z y P 0 F z z P 0 < 0

E que

F x x x , y < 0

F x x x , y F y y x , y - F x y x , y F y x x , y > 0

Passo 10

Como falamos no passo anterior, F é muito parecida com f , assim

F x x = f x x = - y - x

F y y = f y y = x - y

F x y = F y x = f x y = f y x = y - x

Fica faltando então só a gente calcular as derivadas em relação a z . Vamos fazer:

F x , y , z = x y 2 2 - x 2 y 2 - x 3 6 - y 3 6 + z 4 12 - z 2 2

F z = 4 z 3 12 - z = z 3 3 - z

F z z = z 2 - 1

F x z = F z x = F y z = F z y = 0

Passo 11

Substituindo nas condições do passo 9:

H P 0 = - y - x y - x 0 y - x x - y 0 0 0 z 2 - 1 < 0

- y - x x - y z 2 - 1 + y - x 0 0 + 0 y - x 0 - 0 x - y 0 - 0 0 y - x - z 2 - 1 y - x y - x < 0

z 2 - 1 - y - x x - y - y - x 2 < 0

Essa parte que está entre colchetes temos que, como condição, ela é maior que zero. Assim, pra isso daí tudo ser menor que zero, temos que ter que

z 2 - 1 < 0

1 - z 2 > 0

E

F x x x , y < 0

- y - x < 0

Que do item I sabemos que vale:

- x < y

x + y > 0

E

F x x x , y F y y x , y - F x y x , y F y x x , y > 0

- y - x x - y - ( y - x ) ( y - x ) > 0

Que também do item I , sabemos que vale:

x < y

Passo 12

Juntando tudo agora, podemos dizer então que se

C = x , y , z ∈ R 3 h 1 x , y , z > 0 ,   h 2 x , y , z > 0 ,   h 3 x , y , z > 0 }  

Então

h 1 x , y , z = 1 - z 2 > 0

h 2 x , y , z = x + y > 0

  h 3 x , y , z = - y - x x - y - ( y - x ) ( y - x ) > 0

Passo 13

Agora ainda falta achar um ponto que pertença a esse conjunto.

Se você reparar, esse conjunto é bem parecido com o conjunto B que encontramos no item I .

A única coisa que muda é que temos a condição de que

h 1 x , y , z = 1 - z 2 > 0

Assim, podemos pegar o mesmo ponto que atendia o conjunto B e calcular um valor de z para ele (pois agora o ponto deve ser 3 coordenadas), de acordo com essa nossa condição.

Assim, se, por exemplo, z = 0 , teremos que

1 - 0 2 > 0

Então, podemos dizer que o ponto

P = 2,2 + 2   , 0

Pertence ao conjunto C .

E, F-I-N-A-L-M-E-N-T-E, acabou!

Resposta

a )

P 1 = 2,2 + 2  

P 2 = 2,2 - 2  

b )

B =   x , y ∈ R 2   x > 0     e   x < y }  

P = 2,2 + 2  

c )

P 1 = 2,2 + 2  

a )

h 1 x , y , z = 1 - z 2 > 0

h 2 x , y , z = x + y > 0

  h 3 x , y , z = - y - x x - y - ( y - x ) ( y - x ) > 0

P = 2,2 + 2   , 0

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