Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Seja

f x , y = x 4 - 4 x y + 2 y 2

E considere as seguintes as afirmativas:

  1. f possui exatamente três pontos críticos
  2. Apenas um ponto crítico de f é ponto de mínimo local.
  3. Apenas um ponto crítico de f é ponto de sela.

Indique a alternativa correta:

  1. Somente a afirmativa I é verdadeira
  2. As afirmativas I e II são verdadeiras e III é falsa
  3. As afirmativas I e III são verdadeiras e a II é falsa
  4. Todas as afirmativas são verdadeiras
  5. Todas as afirmativas são falsas

Passo 1

OPA, falou de ponto crítico vamos tentar o teste da derivada segunda.

Pra isso, vamos começar achando as derivadas parciais e igualando a zero para encontrar os pontos críticos.

f x , y = x 4 - 4 x y + 2 y 2

f x = 4 x 3 - 4 y = 0

f y = - 4 x + 4 y = 0

Da segunda equação tiramos que

x = y

Substituindo esse resultado na primeira equação:

4 x 3 - 4 x = 0

4 x x 2 - 1 = 0

Daí a gente tira que

x = 0

Ou

x 2 - 1 = 0 ⇒ x = ± 1

Como a gente tinha descoberto que x = y , ficamos com os seguintes pontos críticos:

P 1 = ( 0,0 )

P 2 = ( 1,1 )

P 3 = ( - 1 , - 1 )

Então até aqui já descobrimos que são exatamente 3 pontos críticos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora para analisar as outras afirmativas, vamos precisar classificar esses bebês aí.

Partiu teste da derivada segunda.

Calculando as derivadas segundas:

f x = 4 x 3 - 4 y

f x x = 12 x 2

f y = - 4 x + 4 y

f y y = 4

f x y = - 4

Passo 3

Aplicando o teste da derivada segunda, mas sem substituir em nenhum ponto ainda, porque a gente tem muitos pontos.

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

H P 0 = 12 x 2 - 4 - 4 4

H P 0 = 12 x 2 . 4 - - 4 . - 4 = 48 x 2 - 16

Passo 4

Agora sim podemos classificar nossos pontos críticos.

Primeiro ponto P 1 = ( 0,0 ) :

H P 1 = H 0,0 = 48 . 0 2 - 16 = - 16 < 0

P 1 é ponto de sela.

Segundo ponto: P 2 = ( 1,1 ) :

H P 2 = H 1,1 = 48 . 1 2 - 16 = 32 > 0

f x x = 12.1 2 = 12 > 0

P 2 é ponto de mínimo.

Terceiro ponto: P 3 = ( - 1 , - 1 ) :

H P 2 = H - 1 , - 1 = 48 . ( - 1 ) 2 - 16 = 32 > 0

f x x = 12.1 2 = 12 > 0

P 3 é ponto de mínimo.

Resposta

Letra c

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