Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Seja f ( x , y )   =   x 10   +   y 10   - 10 x y , ( x , y ) ∈ R 2 .

  1. Calcule todos os pontos críticos de f x , y .
  2. Classifique os pontos críticos de f x , y , determinando se são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Passo 1

Resolvendo a letra a)

Pra calcular pontos críticos da função, devemos calcular o gradiente de f ( x , y ) e igualar a zero! Então:

∇ f x , y = 10 x 9 - y , 10 y 9 - x = 0,0

Passo 2

Resolvendo o sistema, encontraremos os pontos críticos de f :

0,0 ,   1,1   e   - 1 , - 1

Passo 3

Resolvendo a letra b)

Pra classificar os pontos críticos, vamos analisar o traço e o determinante da matriz Hessiana de f ( x , y ) , H f x , y , avaliada em cada um dos pontos críticos encontrados:

H f x , y = 90 x 8 - 10 - 10 90 y 8

E então:

T r H f x , y = 90 x 8 + y 8

D e t H f x , y = 8100 x 8 y 8 - 100

Passo 4

Para o ponto 0,0 :

T r H f 0,0 = 0

D e t H f 0,0 = - 100

Como o determinante é negativo, 0,0 é ponto de sela!

Para o ponto 1 , 1 :

T r H f 1,1 = 180

D e t H f 1,1 = 8000

Como traço e determinante são positivos, 1,1 é ponto de mínimo local (estrito)!

Para o ponto - 1 , - 1 :

T r H f - 1 , - 1 = 180

D e t H f - 1 , - 1 = 8000

Como traço e determinante são positivos, - 1 , - 1 é ponto de mínimo local (estrito)!

Resposta

  1. 0,0 , 1,1 , - 1 , - 1 .
  2. Ponto de sela 0,0 , Ponto de mínimo local 1,1 , Ponto de mínimo local - 1 , - 1 .

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