Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

O ponto ( 0,0 ) é um ponto crítico de cada uma das funções a seguir. Determine se esse ponto crítico é um ponto de máximo local, ponto de mínimo local ou um ponto de sela.

  1. f x , y = 1 - x 2 1 - y 2
  2. f x , y = x 2 - x y + y 4

Passo 1

Ele já diz que ( 0,0 ) é um ponto crítico. Então tudo que a gente precisa fazer é usar o determinante hessiano para classificar esses pontos como ele pede:

H 0,0 = f x x ( 0,0 ) f x y ( 0,0 ) f y x ( 0,0 ) f y y ( 0,0 )

Para ser ponto de máximo: H 0,0 > 0 ,   f x x < 0

Para ser ponto de mínimo: H 0,0 > 0 ,   f x x > 0

Para ser ponto de sela: H 0,0 < 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) f x , y = 1 - x 2 1 - y 2

Para montar o determinante hessiano, precisamos das derivadas parciais de segunda ordem dessa função. Então vamos calcular:

f x = - 2 x 1 - y 2

f y = - 2 y 1 - x 2

f x x = - 2 1 - y 2

f y y = - 2 1 - x 2

f x y = f y x = - 2 y - 2 x = 4 x y

Passo 3

Precisamos calcular as derivadas de ordem superior no ponto ( 0,0 ) :

f x x 0,0 = - 2 1 - 0 2 = - 2

f y y 0,0 = - 2 1 - 0 2 = - 2

f x y 0,0 = f y x 0,0 = 4 ⋅ 0 ⋅ 0 = 0

Passo 4

Montando nosso determinante e calculando:

H 0,0 = f x x ( 0,0 ) f x y ( 0,0 ) f y x ( 0,0 ) f y y ( 0,0 ) = - 2 0 0 - 2 = 4

Passo 5

Deu positivo, isso quer dizer que esse ponto é um ponto de máximo ou mínimo.

Vamos o olhar o sinal da derivada f x x para decidir qual dos dois.

f x x 0,0 = - 2 < 0

Logo esse é um ponto de máximo.

Passo 6

b) f x , y = x 2 - x y + y 4

Calculando as derivadas de ordem superior.

f x = 2 x - y

f y = - x + 4 y 3

f x x = 2

f y y = 12 y 2

f x y = f y x = - 1

Passo 7

Substituindo ( 0,0 ) .

f x x 0,0 = 2

f y y 0,0 = 12 ⋅ 0 = 0

f x y 0,0 = f y x 0,0 = - 1

Passo 8

Montando nosso determinante e calculando:

H 0,0 = f x x ( 0,0 ) f x y ( 0,0 ) f y x ( 0,0 ) f y y ( 0,0 ) = 2 - 1 - 1 0 = - 1

Passo 9

Como deu negativo, sabemos que ( 0,0 ) é um ponto de sela.

Resposta

  1. Ponto de Máximo
  2. Ponto de Sela

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