Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

A função f x , y = y sen ⁡ x possui

  1. Infinitos pontos de sela
  2. Infinitos pontos de máximo local
  3. Infinitos pontos de mínimo local
  4. Exatamente um ponto de mínimo local e um de máximo local
  5. Nenhuma das outras alternativas

Passo 1

Devemos começar achando os pontos críticos, primeiro vamos achar as derivadas da função

f x = y cos ⁡ x

f y = sen ⁡ x

Os pontos críticos são aquele que

y cos ⁡ x = 0

sen ⁡ x = 0

Da segunda equação temos

x = 0 + k π

Com k sendo um número inteiro.

Dessa forma na primeira equação temos

y cos ⁡ 0 + k π = 0

O cosseno vai ser sempre diferente de zero, logo

y = 0

O ponto crítico é

P 0 = k π , 0

Com k sendo um número inteiro.

Passo 2

Agora devemos calcular o determinante de

H P 0 = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Vamos primeiro achar as derivadas segundas

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y cos ⁡ x = - y sen ⁡ x

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y sen ⁡ x = 0

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x sen ⁡ x = cos ⁡ x

Passo 3

Substituindo os valores dos pontos críticos vamos encontrar

f x x = 0

f y y = 0

f x y = cos ⁡ k π

Passo 4

Voltando ao determinante

H P 0 = 0 cos ⁡ k π cos ⁡ k π 0 = - cos 2 ⁡ k π

Como

cos ⁡ k π = ± 1

Vamos ter

H P 0 = - 1 < 0

Então todos os pontos críticos são pontos de sela, e teremos infinitos pontos de sela

Resposta

Alternativa (a)

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