Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Passo 1

Precisamos encontrar os pontos de máximo da nossa função Lucro.

Não temos nenhuma restrição, temos apenas uma função que queremos saber os pontos de máximo dela em todo o seu domínio.

Então, vamos começar achando os pontos críticos, pois se houver máximo, ele estará no ponto crítico.

Derivando e igualando a zero:

∂ L ∂ x = - 2 12 - x . - 1 = 24 - 2 x = 0

∂ L ∂ y = - 2 40 - y . - 1 = 80 - 2 y = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos então o sistema:

  24 - 2 x = 0 80 - 2 y = 0

Da primeira equação temos que

x = - 24 - 2 = 12

E da segunda equação,

y = - 80 - 2 = 40

Assim, o único ponto crítico é:

P 0 = 12,40

Passo 3

Agora precisamos saber se esse ponto é de fato um ponto de máximo da função Lucro.

Para isso, observe que a função é

L x , y = 1400 - 12 - x 2 - 40 - y 2

Podemos reorganizar isso como

L x , y = 1400 - 12 - x 2 + 40 - y 2  

Entre parênteses temos a soma de dois termos ao quadrado, o que é sempre maior ou igual a zero. E isso vai ser zero justamente quando x = 12 e y = 40 .

E, quando esse parêntese aí zerar, nossa função terá o maior valor que ela pode ter na vida, já que ela é igual a uma constante menos uma coisa cujo valor mínimo é zero.

Ou seja, quando estamos no nosso ponto crítico P 0 = 12,40 , a função L ( x , y ) assume o maior valor que ela pode ter. Assim, o ponto crítico é o ponto que maximiza essa função.

Resposta

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas