3 - Considere a função f x , y = - x - 5 y e a região A = x , y ∈ R 2 5 x + 6 y ≤ 30 ,   3 x + 2 y ≤ 12 ,   x ≥ 0 ,   y ≥ 0 .

(b) Encontre os máximos e mínimos de f em A .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos que obter os pontos máximos e os pontos mínimos de f x , y dentro da região A .

Como podemos fazer isso? 👀

Lembra que no item anterior definimos C como o nível de f e definimos para quais valores de C a curva f estaria sob a região A ?

Vamos dar uma olhada nesse passo um pouco mais de perto!

Bora lá! 🤔

Passo 2

Se o nível de uma função é definido como f x , y = a uma constante, então fizemos f x , y = C pois nem todos os níveis de f estariam sob a região A e precisávamos encontrar quais os níveis que satisfaziam nosso problema.

Se f x , y = C e f x , y = - x - 5 y , então

- x - 5 y = C

Isolando y em um lado, temos

y = - x + C 5

Analisando a região A pelo gráfico

Perceba que em x = 0 na região A , y varia de 0 a 5 e em y = 0 , x varia de 0 a 4 .

Como f x , y é um plano o valor máximo está no maior nível que encontrarmos nos vértices e de acordo com essas informações C varia de 0 a - 25 (quando x = 0 ) e de 0 a - 4 (quando y = 0 ).

Logo, para C fazer parte de A , temos que pegar o intervalo definido pelo maior valor e pelo menor valor que encontramos para C . Que é justamente quando x = 0 , ou seja, o nível de f varia em C como

- 25 ≤ C ≤ 0

Assim, vemos que o menor valor (menor nível) de f em A é - 25 e o maior valor (maior nível) de f em A é 0 .

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

O menor valor (menor nível) de f em A é - 25 e o maior valor (maior nível) de f em A é 0

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