Encontre os pontos críticos da função f x , y = x -   x 2 + y 2 3 . Determine se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Passo 1

Para acharmos os pontos críticos precisamos ter

∇ f = f x , f y = ( 0,0 )

Então, vamos primeiro achar as derivadas parciais de f

f x x , y = 1 - 3 2 x 2 + y 2 1 2   2 x = 1 - 3 x   x 2 + y 2 f y x , y = 0   - 3 2 x 2 + y 2 1 2   2 y =   - 3 y x 2 + y 2  

Passo 2

Como as derivadas devem ser iguais a zero, montamos o sistema

1 - 3 x   x 2 + y 2 = 0 - 3 y   x 2 + y 2 = 0

Pela segunda equação, temos

y = 0

Devolvendo esse valor na primeira equação temos

1 - 3 x   x 2 = 0   3 x 2 = 1

x =   ± 1 3

Juntando todas as possibilidades, temos

y = 0   e   x =   1 3

y = 0   e   x = -   1 3

Que são os pontos

1 3 ,   0 -   1 3 ,   0  

Passo 3

Os pontos obtidos no passo anterior são os pontos críticos da nossa função. Mas agora a gente precisa classificar esses pontos em máximos, mínimos ou pontos de sela. Para fazer isso, a gente calcula o determinante abaixo

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P  

Vamos lá!Primeiro a gente precisa de todas as possíveis derivadas de segunda ordem

f x x x , y = ∂ ∂ x   f x x , y = ∂ ∂ x 1 - 3 x   x 2 + y 2 ∂ ∂ x 1 - 3 x   x 2 + y 2 = 0 - 3   x 2 + y 2 - 3 x 2 2 x x 2 + y 2

f x x x , y =   - 3 x 2 + y 2 -   3 x 2 x 2 + y 2   f x x x , y =     - 3 x 2 + y 2 2 -   3 x 2 x 2 + y 2 → f x x x , y = -   3 ( 2 x 2 + y 2 ) x 2 + y 2  

Passo 4

f y y x , y = ∂ ∂ y   f y x , y = ∂ ∂ y   - 3 y x 2 + y 2 f y y x , y =   - 3 x 2 + y 2 - 3 y 2 2 y x 2 + y 2

  f y y x , y =   - 3 x 2 + y 2 -   3 y 2 x 2 + y 2

→ f y y x , y = -   3 ( x 2 + 2 y 2 ) x 2 + y 2

Passo 5

f x y x , y = ∂ ∂ x   f y x , y = ∂ ∂ x     - 3 y x 2 + y 2 f x y x , y = - 3 y 2 2 x   x 2 + y 2

f x y x , y = - 3 x y   x 2 + y 2

Como f x y x , y =   f y x x , y não precisamos calcular a outra derivada de segunda ordem

Passo 6

Vamos calcular o valor de cada derivada de segunda ordem no ponto ( 1 3 ,   0 )

f x x 1 3 ,   0 =   -   3 2 1 3 2 + 0 1 3 2 + 0   = - 6 3 =   - 2   3   f y y 1 3 ,   0 = -   3 1 3 2 + 0 1 3 2 + 0 =   - 3 3 =   - 3 f x y 1 3 ,   0 = - 3 . 1 3 . 0     1 3 2 + 0 = 0  

Substituindo esses valores na matriz Hessiana:

H P = -   2 3 0 0 - 3

O hessiano é então

H P = -   2 3 .   -   3 - 0.0 = 6

Como H ( P ) > 0 e temos f x x P < 0 , o ponto 1 3 , 0 é um ponto de máximo local.

Passo 7

Vamos calcular o valor de cada derivada de segunda ordem no ponto ( - 1 3 ,   0 )

f x x 1 3 ,   0 =   -   3 2 - 1 3 2 + 0 - 1 3 2 + 0   = - 6 3 =   - 2   3   f y y 1 3 ,   0 = -   3 - 1 3 2 + 0 - 1 3 2 + 0 =   - 3 3 =   - 3 f x y 1 3 ,   0 = - 3 . - 1 3 . 0     - 1 3 2 + 0 = 0  

Substituindo esses valores na matriz Hessiana:

H P = -   2 3 0 0 - 3

O hessiano é então

H P = -   2 3 .   -   3 - 0.0 = 6

Como H ( P ) > 0 e temos f x x P < 0 , o ponto - 1 3 , 0 também é um ponto de máximo local.

Resposta

Pontos Críticos: - 1 3 , 0   e 1 3 , 0

Ambos os pontos são Máximos locais.

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