Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Passo 1

Assim que a gente vir essas palavrinhas mágicas, “classifique os pontos críticos”, o nosso reflexo tem que ser: calcular as derivadas parciais, igualá-las a 0 e depois mandar ver no teste da derivada segunda! Então vamos fazer isso, começando pelas derivadas parciais!

∂ f ∂ x x , y = 2 x - y

∂ f ∂ y x , y = - x + 1

Passo 2

Show! Agora vamos igualar essas derivadas a 0:

2 x - y = 0 - x + 1 = 0

Da segunda equação, tiramos

x = 1

Substituindo na primeira, vai dar:

2 ( 1 ) - y = 0 ⇒ y = 2

Beleza, então f só tem um ponto crítico, o ponto 1,2 .

Passo 3

Agora só resta classificar esse ponto crítico, usando o teste da derivada segunda, então vamos calcular as derivadas segundas! Lembrando que f x x , y = 2 x - y e f y x , y = - x + 1 . Assim,

f x x x , y = 2

⇒ f x x 1,2 = 2

Também temos:

f y y x , y = 0

⇒ f y y 1,2 = 0

E pras derivadas mistas:

f x y x , y = f y x x , y = - 1

⇒ f x y 1,2 = f y x 1,2 = - 1

Passo 4

Pronto! Agora podemos aplicar o teste da derivada segunda :) O nosso determinante vai ser:

H 1,2 = f x x 1,2 f x y 1,2 f y x 1,2 f y y 1,2

H 1,2 = 2 - 1 - 1 0   = 2.0 - - 1 . - 1 = - 1

Assim, como H 1,2 < 0 , o ponto ( 1,2 ) é um ponto de sela.

Resposta

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