Seja

f x , y = x 2 + x 2 y - y 3 + 2 y 2 - y + 1

a) Determine os pontos críticos de f e classifique-os.

b) Determine os pontos de máximo e de mínimo de f sobre a região triangular de vértices 0,0 ,   - 2,2 e 2,2 .

Passo 1

a) O que o enunciado está pedindo é para gente classificar os pontos críticos dessa função. Para ser ponto crítico, precisa zerar as derivadas ao mesmo tempo:

f x ( P 0 ) = 0 ,   f y ( P 0 ) = 0  

Vamos encontrar para que pontos isso acontece. Calculando as derivadas:

f x , y = x 2 + x 2 y - y 3 + 2 y 2 - y + 1

f x = 2 x + 2 x y ,     f y = x 2 - 3 y 2 + 4 y - 1  

Descobrindo onde elas zeram ao mesmo tempo:

f x = 2 x + 2 x y = 0

f y = x 2 - 3 y 2 + 4 y - 1 = 0

Aí a gente fica com esse sisteminha para resolver:

2 x + 2 x y = 0 x 2 - 3 y 2 + 4 y - 1 = 0

Passo 2

Da primeira equação, a gente pode escrever

2 x + 2 x y = 0 ∴ 2 x 1 + y = 0 ∴ x = 0 ,   y = - 1

Daí a gente tem que y = - 1 ou x = 0 . Vamos olhar cada caso

- x = 0

Substituindo na segunda equação

x 2 - 3 y 2 + 4 y - 1 = 0 ∴ - 3 y 2 + 4 y - 1 = 0

y = 1 3 ,     y = 1

Daí a gente tem dois pontos: P 1 = 0 ,   1 3 ,   P 2 = 0,1

- y = - 1

Substituindo na segunda equação

x 2 - 3 y 2 + 4 y - 1 = 0 ∴ x 2 - 3 - 4 - 1 = 0

x = 8 ,     x = - 8

Daí a gente tem dois novos pontos: P 3 = 8 , - 1 ,   P 4 = - 8 , - 1

Aí achamos quadro pontos críticos: P 1 = 0 ,   1 3 ,   P 2 = 0,1 ,   P 3 = 8 , - 1 ,   P 4 = - 8 , - 1 .

Passo 3

Para classificar esses pontos, a gente precisa calcular o determinante 𝐻(𝑃0):

H ( P 0 ) = f x x P 0 f x y P 0 f y x P 0 f y y P 0

Se ele for positivo, nosso ponto é de máximo ou de mínimo. Aí se for de mínimo f x x ( P 0 ) > 0 e se for de máximo f x x ( P 0 ) < 0 . Maaas se for negativo, nosso ponto é ponto de sela. (Se for H ( P 0 ) = 0 não se sabe).

Vamos calcular então essas derivadas de segunda ordem:

f x = 2 x + 2 x y ,     f y = x 2 - 3 y 2 + 4 y - 1  

f x x = 2 + 2 y ,     f y y = - 6 y + 4 ,     f x y = f y x = 2 x

H ( P 0 ) = 2 + 2 y 2 x 2 x - 6 y + 4

Passo 4

Agora é calcular esse determinante para os nossos pontinhos! Vamos calcular H ( 0,0 ) :

H 0 ,   1 3 = f x x 0 ,   1 3 f x y 0 ,   1 3 f y x 0 ,   1 3 f y y 0 ,   1 3 = 2 + 2 3 0 0 - 2 + 4 = 16 3

Como H > 0 , e f x x > 0 esse é um ponto de mínimo.

Vamos calcular H ( 0,1 ) :

H 0,1 = 2 + 2 0 0 - 6 + 4 = - 8

Como H < 0 , esse é um ponto de sela.

Vamos calcular H 8 , - 1 :

H 8 , - 1 = f x x 8 , - 1 f x y 8 , - 1 f y x 8 , - 1 f y y 8 , - 1 = 2 - 2 2 8 2 8 6 + 4 = 0 - 32 = - 32

Como H < 0 , esse é um ponto de sela.

Vamos calcular H - 8 , - 1 :

H - 8 , - 1 = f x x - 8 , - 1 f x y - 8 , - 1 f y x - 8 , - 1 f y y - 8 , - 1 = 2 - 2 - 2 8 - 2 8 6 + 4 = 0 - 32 = - 32

Como H < 0 , esse é um ponto de sela também.

Passo 5

b) Nessas questões onde temos que encontrar os valor máximo e mínimo de uma função dentro de uma região, precisamos fazer duas coisas:

Primeira: Encontrar candidatos a pontos de máximo e mínimo dentro da região dada.

Segunda: Encontrar candidatos na fronteira da região.

E comparar esses candidatos, para ver quem é o valor mínimo e o valor máximo da função. Veeem comigo!

Passo 6

Para encontrar os nossos candidatos dentro da região, precisamos analisar os pontos críticos da nossa função. Já achamos esses pontos:

P 1 = 0 ,   1 3 ,   P 2 = 0,1 ,   P 3 = 8 , - 1 ,   P 4 = - 8 , - 1

Precisamos ver se eles estão dentro da nossa região triangular, vamos esboçar ela:

Vamos ver se nossos pontos estão dentro dela:

Como só P 1 = 0 , 1 3 e P 2 = 0,1 estão dentro do triângulo, eles serão nossos primeiros candidatos.

Passo 7

Agora precisamos olhar a fronteira. Já vimos que ela tem essa carinha:

Primeira coisa que a gente faz é automaticamente chamar de candidatos os vértices dessa região:

  P 3 = 0 , 0 ,     P 4 = - 2 , 2 ,     P 5 = ( 2 , 2 )

Passo 8

Agora é achar candidatos nos lados da nossa região. Mas como?? Vamos olhar um de cada vez.

- Lado a: Nele y = 2 e - 2 ≤ x ≤ 2 . Se a gente substitui isso em f x , y = x 2 + x 2 y - y 3 + 2 y 2 - y + 1 :

f x , 2 = x 2 + 2 x 2 - 8 + 8 - 2 + 1 = 3 x 2 - 1

Vira uma função de uma variável. Nossos canditatos desse lado vão ser os pontos críticos dessa função. A gente calcula eles assim:

f ' x , 2 = 6 x ∴ 6 x = 0 ∴ x = 0

Como - 2 ≤ 0 ≤ 2 , nosso candidato nesse lado vai ser P 6 = ( 0 , 2 ) .

- Lado b: Ele é parte da reta y = - x e - 2 ≤ x ≤ 0 . Se a gente substitui isso em em f x , y = x 2 + x 2 y - y 3 + 2 y 2 - y + 1 :, ou seja, chama y de - x :

f x , - x = x 2 - x 3 + x 3 + 2 x 2 + x + 1 = 3 x 2 + x + 1

Vira uma função de uma variável. Nossos canditatos desse lado vão ser os pontos críticos dessa função. A gente calcula eles assim:

f ' x , - x = 6 x + 1 ∴ 6 x + 1 = 0 ∴ x = - 1 6

Como - 2 ≤ - 1 / 6   ≤ 0 , e y = - x ,   nosso candidato nesse lado vai ser P 7 = ( - 1 6 , 1 6 ) .

- Lado c: Ele é parte da reta y = x e 0 ≤ x ≤ 2 . Se a gente substitui isso em em f x , y = x 2 + x 2 y - y 3 + 2 y 2 - y + 1 :, ou seja, chama y de x :

f x , x = x 2 + x 3 - x 3 + 2 x 2 - x + 1 = 3 x 2 - x + 1

Vira uma função de uma variável. Nossos canditatos desse lado vão ser os pontos críticos dessa função. A gente calcula eles assim:

f ' x , x = 6 x - 1 ∴ 6 x - 1 = 0 ∴ x = 1 6

Como 0 ≤ 1 / 6   ≤ 2 , e y = x ,   nosso candidato nesse lado vai ser P 8 = ( 1 6 , 1 6 ) .

Passo 9

Calma que tá acabando haha. Agora é só testar nossos candidatos em f ( x , y ) e descobrir qual deles dá o maior valor de f e qual deles dá o menor:

f 0 ,   1 3 = 23 27

f 0,1 = 1

f 0,0 = 1

f - 2,2 = 1 1

f 2,2 = 1 1

f 0,2 = - 1

f - 1 6 , 1 6 = 11 12

f 1 6 , 1 6 = 11 12

Daí a gente tira que o valor máximo que essa função nessa região assume é 1 1 , e ele ocorre em ± 2,2 e o valor mínimo é - 1 , ele ocorre em 0,2 .

Resposta

a)

P = 0 ,   1 3 , ponto de mínimo.

P = 0,1 , ponto de sela.

P = ± 8 , - 1 , pontos de sela.

b)

P = ± 2,2 , pontos de máximo

P = 0,2 , ponto de mínimo

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