Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos.

Assim, achando as derivadas:

f x = 8 x + 4 y - 4

f y = 2 y + 4 x - 2

Igualando a zero:

8 x + 4 y - 4 = 0

2 y + 4 x - 2 = 0

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Passo 2

Isolando o x na primeira equação:

x = - 4 y + 4 8 = - 2 y + 2 4

E substituindo na segunda:

2 y + 4 - 2 y + 2 4 - 2 = 0

2 y - 2 y + 2 - 2 = 0

0 = 0

Opa, que que significa isso?

Isso significa que, de início, eu não reparei, mas as duas equações do sistema eram múltiplas. Ou seja, temos na verdade um sistema de 1 equação e duas incógnitas, o que significa que ele pode ter infinitas soluções.

Ou seja, todos os valores de x e y que respeitarem a regra

2 y + 4 x - 2 = 0

São soluções.

Em outras palavras, todos os valores de x e y que estiverem sobre a reta

2 x + y = 1

São soluções do sistema, ou seja, são pontos críticos da nossa função.

Passo 3

Agora vamos classificar esse ponto crítico.

Calculando as derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 8 x + 4 y - 4 = 8

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 2 y + 4 x - 2 = 2

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 2 y + 4 x - 2 = 4

Como são constantes, se substituirmos elas no ponto crítico, teremos a mesmas constantes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante:

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P = 8 4 4 2 = 2.8 - 4.4 = 0

Como H P 0 = 0 ainda não podemos afirmar nada sobre os pontos críticos.

Passo 5

Vamos tentar analisar o sinal dessa função.

f x , y = 4 x 2 + 4 x y + y 2 - 4 x - 2 y

A princípio não parece que dá pra dizer nada né?

Beleza, mas tem uma parte disso daí que é um produto notável olha:

2 x + y 2 = 4 x 2 + 4 x y + y 2

Dessa forma, podemos reescrever nossa função como

f x , y = 2 x + y 2 - 2 ( 2 x + y )

Passo 6

Agora vamos lá analisar o sinal disso.

O primeiro termo é um termo ao quadrado, que é sempre maior ou igual a zero.

O segundo termo não está ao quadrado, mas o que ta dentro do parêntese é igual ao termo que tá ao quadrado. E ainda temos um 2 multiplicando ele. Mas aí, um termo ao quadrado é sempre maior ou igual que o dobro desse termo, por exemplo

4 2 = 16 > 2.4 = 8

Assim, o que está sendo subtraído da nossa função é algo menor ou igual do que um termo que é sempre maior ou igual a zero. Então, nossa função é sempre maior ou igual a zero.

f x , y ≥ 0

Agora, lembrando que nosso ponto crítico são todos os pontos sobre a reta

2 x + y = 1

Se substituirmos ele na nossa função, temos

f x , y = 1 2 - 2 1 = - 1

Assim, nossos pontos críticos são pontos de mínimo local.

Passo 7

Agora entramos com o enunciado.

De acordo com o que ele disse, para funções tipo a nossa, é possível provar que se um ponto é extremante local, então também é global.

Assim, nossos pontos de mínimo local são também pontos de mínimo global.

Resposta

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