Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Passo 1

Vamos encontrar os pontos críticos.

Assim, achando as derivadas:

f x = 2 x + 3 y - 6

f y = 8 y + 3 x + 2

Igualando a zero:

2 x + 3 y - 6 = 0

8 y + 3 x + 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Isolando o x na primeira equação:

x = - 3 y + 6 2

E substituindo na segunda:

8 y + 3 - 3 y + 6 2 + 2 = 0

8 y - 9 y 2 + 9 + 2 = 0

7 y 2 = - 11

y = - 22 7

Assim

x = - 3 y + 6 2 = - 3 - 22 7 + 6 2 = 54 7

O ponto crítico é

P 0 = 54 7 ,   22 7

Passo 3

Agora vamos classificar esse ponto crítico.

Calculando as derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 2 x + 3 y - 6 = 2

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 8 y + 3 x + 2 = 8

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 8 y + 3 x + 2 = 3

Como são constantes, se substituirmos elas no ponto crítico, teremos a mesmas constantes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante:

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P = 2 3 3 8 = 2.8 - 3.3 = 7

Como H P 0 > 0 e f x x P 0 = 2 > 0 , o ponto 54 7 ,   22 7 é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Agora entramos com o enunciado.

De acordo com o que ele disse, para funções tipo a nossa, é possível provar que se um ponto é extremante local, então também é global.

Assim, nosso ponto de mínimo local P 0 = 54 7 ,   22 7 é também um ponto de mínimo global.

Resposta

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