Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Classificação de Pontos Críticos

Considere a função

f x , y = x y + a x + b y ,   x > 0 ,   y > 0

onde a > 0 e b > 0 são duas constantes reais.

  1. Encontre os pontos x , y ( x > 0 , y > 0 ) tais que os autovalores da matriz hessiana de f sejam estritamente positivos nestes pontos.
  2. Classifique os pontos críticos de f quanto a sua natureza (máximo local, mínimo local ou sela).

Passo 1

Resolvendo item (a): queremos que os autovalores da matriz hessiana sejam positivos. Então precisamos determinar a matriz hessiana.

Para isso, precisamos calcular as derivadas segundas:

Calculando ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ x = y - a x 2 + 0

⇒ ∂ f ∂ x = y - a x 2

Calculando ∂ f ∂ y :

f x , y = x + 0 - b y 2

⇒ ∂ f ∂ y = x - b y 2

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x y - a x 2

∂ ∂ x y - a x 2 = 0 - - 2 a x 3

⇒ f x x = 2 a x 3

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x - b y 2

∂ ∂ y x - b y 2 = 0 - - 2 b y 3

⇒ f y y = 2 b y 3

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x x - b y 2

∂ ∂ x x - b y 2 = 1 - 0

⇒ f x y = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Matriz hessiana:

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y

Substituindo derivadas segundas:

H x , y = 2 a x 3 1 1 2 b y 3

Legal! Agora, para que os autovalores sejam positivos, então, com certeza a soma desses autovalores é positiva e o produto entre eles também é positivo.

Sabemos que o traço da matriz (soma da diagonal) é a soma dos autovalores e o determinante é o produto.

Então temos essas duas condições:

  1. Traço tem que ser positivo:
  2. 2 a x 3 + 2 b y 3 > 0

    Como a , b , x e y são positivos, então essa soma é positiva para quaisquer valores de x e y .

  3. Determinante da matriz tem que ser positivo:

2 a x 3 2 b y 3 - 1 1 > 0

⇒ 4 a b x 3 y 3 > 1

Como x 3 y 3 é um valor positivo, podemos multiplicar nos dois lados sem alterar o sinal da desigualdade:

4 a b > x 3 y 3

⇒ x 3 y 3 < 4 a b

⇒ x y 3 < 4 a b

⇒ x y < 4 a b 1 3

Passo 3

Resolvendo item (b): Vamos classificar todos os pontos críticos da função.

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos.

Para isso, calcular gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

Conforme calculamos antes:

∇ f x , y = y - a x 2 ,   x - b y 2

Passo 4

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ y - a x 2 ,   x - b y 2 = 0,0

Passo 5

Igualando as coordenadas:

y - a x 2 = 0   x - b y 2 = 0

Jogando para o lado direito:

y = a x 2   x = b y 2

Substituindo a segunda equação na primeira:

y = a b y 2 2

⇒ y - a y 4 b 2 = 0

⇒ y 1 - a y 3 b 2 = 0

Temos duas possibilidades:

y = 0 ou 1 - a y 3 b 2 = 0

Mas note que o problema nos diz que y > 0 ! Além do mais, y aparece no denominador da função. Então a função não está definida para y = 0 .

Portanto, só temos uma possibilidade:

1 - a y 3 b 2 = 0

⇒ a y 3 b 2 = 1

⇒ y 3 = b 2 a

⇒ y = b 2 a 1 3

Passo 6

Substituindo na segunda equação:

x - b y 2 = 0

⇒ x - b b 2 a 1 3 2 = 0

⇒ x = b b 4 3 a 2 3

⇒ x = b a 2 3 b 4 3

⇒ x = a 2 3 b 1 3

⇒ x = a 2 b 1 3

Temos, então, apenas um ponto crítico:

P = a 2 b 1 3 ,   b 2 a 1 3  

Passo 7

Agora vamos classificar esse ponto crítico.

Para isso, precisamos saber o traço e determinante da matriz hessiana. Sabemos que a soma s dos autovalores corresponde ao traço e o produto p corresponde ao determinante.

Como vimos antes:

s = 2 a x 3 + 2 b y 3

p = 4 a b x 3 y 3 - 1

No ponto crítico, temos que x 3 = a 2 b e y 3 = b 2 a

Substituindo em s :

s = 2 a a 2 b + 2 b b 2 a

⇒ s = 2 a b a 2 + 2 a b b 2

⇒ s = 2 b a + 2 a b

⇒ s = 2 b 2 + 2 a 2 a b

⇒ s = 2 a 2 + b 2 a b

Substituindo em p :

p = 4 a b x 3 y 3 - 1

⇒ p = 4 a b a 2 b b 2 a - 1

⇒ p = 4 a b a b - 1

⇒ p = 4 - 1

⇒ p = 3

Note que s > 0 e p > 0 .

Isso significa que os dois autovalores são positivos, pois a soma é positiva e o produto também!

Então este é um ponto de mínimo local!

Resposta

  1. Todos os pontos que satisfazem
  2. x y < 4 a b 1 3

  3. Ponto de mínimo local

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