Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Determine se cada uma das seguintes afirmações é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.

b) Se f : R 2 → R uma função com derivadas parciais de segunda ordem contínuas tal que f x 6 , - 1 = f y 6 , - 1 = 0 . Se f x x 6 , - 1 ⋅ f y y 6 , - 1 < 0 , então ( 6 , - 1 ) é um ponto de sela de f .

Passo 1

Ele diz que ( 6 , - 1 ) é um ponto crítico de f (as derivadas parciais são iguais a zero) e quer saber se ( 6 , - 1 ) é um ponto de sela para f . Isso é o mesmo que dizer que para f :

H 6 , - 1 = f x x ( 6 , - 1 ) f x y ( 6 , - 1 ) f y x ( 6 , - 1 ) f y y ( 6 , - 1 ) < 0

Que é o mesmo que:

f x x 6 , - 1 ⋅ f y y 6 , - 1 - f x y 6 , - 1 ⋅ f y x 6 , - 1 < 0

Então o que gente precisa verificar é se isso é verdade com base nas informações que ele deu.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele diz que:

f x x 6 , - 1 ⋅ f y y 6 , - 1 < 0

E f x x 6 , - 1 ⋅ f y y 6 , - 1 é a primeira parcela da nossa inequação:

f x x 6 , - 1 ⋅ f y y 6 , - 1 - f x y 6 , - 1 ⋅ f y x 6 , - 1 < 0

Ele diz que o primeiro termo dessa diferença é negativo. Vamos guardar essa informação.

Passo 3

Agora repara que ele diz que as derivadas de segunda ordem são continuas nesse ponto. Isso é o mesmo que dizer que as derivadas parciais mistas são iguais:

f x y 6 , - 1 = f y x ( 6 , - 1 )

E com isso, nossa inequação fica:

f x x 6 , - 1 ⋅ f y y 6 , - 1 - f x y 6 , - 1 2 < 0

Passo 4

A gente sabe que o primeiro termo dessa inequação é negativo e segundo vai ser sempre positivo porque é um termo ao quadrado. Logo a gente tem algo assim:

número negativo número positivo < 0

E isso é verdade porque um número negativo menos um número positivo fica ainda menor. Logo essa afirmativa está correta.

Resposta

Verdadeira

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