Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

Dada a função

f x , y = x e - 2 x 2 - 2 y 2

  1. Determine seus pontos críticos.
  2. Classifique seus pontos críticos.

Passo 1

a )

Bora calcular as derivadas parciais para identificar os pontos críticos

f x , y = x e - 2 x 2 - 2 y 2

∂ f ∂ x = 1 . e - 2 x 2 - 2 y 2 - 4 x 2 e - 2 x 2 - 2 y 2 = ( 1 - 4 x 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2

∂ f ∂ y = - 4 x y e - 2 x 2 - 2 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Encontrar pontos críticos, ou seja, igualar as derivadas parciais a zero

∂ f ∂ x = ( 1 - 4 x 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2 = 0

∂ f ∂ y = - 4 x y e - 2 x 2 - 2 y 2 = 0

Como e - 2 x 2 - 2 y 2 > 0 , então, nosso sistema pode se reduzir a:

1 - 4 x 2 = 0   - 4 x y = 0

Da primeira equação tiramos que

x = ± 1 2

Substituindo isso na segunda equação, temos que

- 4 ± 1 2 y = 0

y = 0

Então nossos pontos críticos são 1 2 , 0 e - 1 2 , 0 .

Passo 3

b )

Para classificar os pontos críticos, vamos usar o teste da derivada segunda.

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ( 1 - 4 x 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2 = - 8 x e - 2 x 2 - 2 y 2 + ( - 4 x ) ( 1 - 4 x 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2

f x x = ( - 12 x + 16 x 3 ) e - 2 x 2 - 2 y 2

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y - 4 x y e - 2 x 2 - 2 y 2 = - 4 x e - 2 x 2 - 2 y 2 - 4 x y ( - 4 y ) e - 2 x 2 - 2 y 2

f y y = ( - 4 x + 16 x y 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2

f x y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x = ∂ ∂ y ( 1 - 4 x 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2 = - 4 y 1 - 4 x 2 e - 2 x 2 - 2 y 2 = - 4 y e - 2 x 2 - 2 y 2 + 16 x 2 y e - 2 x 2 - 2 y 2

f x y = - 4 y + 16 x 2 y e - 2 x 2 - 2 y 2

Passo 4

Calculando H P :

H P = f x x P f x y P f y x P f y y P

⇒ H P = ( - 12 x + 16 x 3 ) e - 2 x 2 - 2 y 2 - 4 y + 16 x 2 y e - 2 x 2 - 2 y 2 - 4 y + 16 x 2 y e - 2 x 2 - 2 y 2 ( - 4 x + 16 x y 2 ) e - 2 x 2 - 2 y 2

⇒ H P = e - 4 x 4 - 4 y 4 48 x 2 - 192 x 2 y 2 - 64 x 4 + 256 x 4 y 2 - e - 4 x 4 - 4 y 4 16 y 2 - 64 x 2 y 2 - 64 x 2 y 2 + 256 x 4 y 2

Passo 5

Substituindo nos pontos críticos, temos:

Para 1 2 , 0 :

H 1 2 , 0 = e - 4 1 2 4 - 4 . 0 4 48 1 2 2 - 192 1 2 2 0 2 - 64 1 2 4 + 256 1 2 4 0 2 - e - 4 1 2 4 - 4 . 0 4 16 . 0 2 - 64 1 2 2 0 2 - 64 1 2 2 0 2 + 256 1 2 4 0 2

H 1 2 , 0 = e - 1 4 12 - 4 - e - 1 4 0

H 1 2 , 0 = 8 e - 1 4 > 0

Deu maior do que zero, então vamos precisar olhar o valor de f x x pra saber se é ponto de máximo ou de mínimo:

f x x 1 2 , 0 = ( - 12 . 1 2   + 16 . 1 2 3 ) e - 2 1 2 2 - 2 . 0 2

f x x 1 2 , 0 = - 6   + 2 e - 1 2 = - 4 e - 1 2 < 0

Assim, o ponto 1 2 , 0 é um ponto de máximo.

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para - 1 2 , 0 :

H - 1 2 , 0 = e - 4 - 1 2 4 - 4 . 0 4 48 - 1 2 2 - 192 - 1 2 2 0 2 - 64 - 1 2 4 + 256 - 1 2 4 0 2 - e - 4 1 2 4 - 4 . 0 4 16 . 0 2 - 64 - 1 2 2 0 2 - 64 - 1 2 2 0 2 + 256 - 1 2 4 0 2

H 1 2 , 0 = e - 1 4 12 - 4 - e - 1 4 0

H 1 2 , 0 = 8 e - 1 4 > 0

Deu maior do que zero, então vamos precisar olhar o valor de f x x pra saber se é ponto de máximo ou de mínimo:

f x x - 1 2 , 0 = ( - 12 . - 1 2   + 16 . - 1 2 3 ) e - 2 - 1 2 2 - 2 . 0 2

f x x 1 2 , 0 = 6 - 2 e - 1 2 = 4 e - 1 2 > 0

Assim, o ponto - 1 2 , 0 é um ponto de mínimo.

Resposta

1 2 , 0 é um ponto de máximo.

- 1 2 , 0 é um ponto de mínimo.

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