Exercícios Resolvidos de Classificação de Pontos Críticos no R²

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Enunciado

Seja

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

Onde a ,   b são constantes reais. Assinale a alternativa cujos valores de a ,   b   fazem do ponto P = ( - 1,0 ) um ponto de sela de f :

  1. a > 0   e   b = - 2 a
  2. a < 0   e   b = 2 a
  3. a < 0   e   b = - 2 a
  4. a > 0   e   b = 2 a
  5. a > 0   e   a = 2 b

Passo 1

Vamos fazer o teste da derivada segunda para classificar o ponto critico P = ( - 1,0 ) .

Primeiro, calculando as derivadas primeiras:

f x , y = x 3 y 2 + a x 2 + b x

f x = 3 x 2 y 2 + 2 a x + b

f y = 2 x 3 y

Calculando as derivadas segundas:

f x x = 6 x y 2 + 2 a ⇒ f x x - 1,0 = 2 a

f y y = 2 x 3   ⇒ f y y - 1,0 = - 2

f x y = f y x = 6 x 2 y   ⇒ f x y - 1,0 = f y x - 1,0 = 0

Passo 2

Calculando H - 1,0 :

H - 1,0 = f x x - 1,0 f x y - 1,0 f y x - 1,0 f y y - 1,0

H - 1,0 = 2 a 0 0 - 2

H - 1,0 = - 4 a - 0 = - 4 a

Passo 3

Para ( - 1,0 ) ser ponto de sela:

H 1,0 = - 4 a < 0

a > 0

Além disso, como ( - 1,0 ) é ponto crítico, sabemos que as derivadas parciais nesse ponto tem que ser nulas, assim:

f x - 1,0 = 3 . ( - 1 ) 2 . 0 2 + 2 a . - 1 + b = 0 ⇒ b = 2 a

f y - 1,0 = 2 . ( - 1 ) 3 . 0 = 0

Resposta

l e t r a   d

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